Le p-Laplacien non-local sur graphes: du discret au continu

Yosra Hafiene (1) , Jalal M. Fadili (1, 2) , Abderrahim Elmoataz (1)

1 Equipe Image - Laboratoire GREYC - UMR6072
2 IEF

– L'équation d'évolution du p-Laplacien non-local, gouvernée par un noyau donné, a de très nombreuses applications pour modéliser les phénomènes de diffusion, notamment en traitement du signal et des images sur graphes. En pratique, cette équation d'évolution est implé-mentée sous une forme discrète (en temps et en espace) comme une approximation numérique du problème continu, où le noyau est remplacé par la matrice d'adjacence d'un graphe. La question naturelle est alors d'étudier la structure des solutions du problème discret et d'en établir la limite continue. C'est l'objectif poursuivi dans ce travail. En combinant des outils issus de la théorie des graphes et des équations d'évolution non-linéaires, nous donnons une interprétation rigoureuse à la limite continue du problème du p-Laplacien discret sur graphes. Plus spécifique-ment, nous considérons une suite de graphes (déterministes) dont l'objet limite est appelé graphon. L'équation d'évolution du p-Laplacien est alors discrétisée en temps et en espace sur cette suite de graphes. Ainsi, nous prouvons la convergence des solutions de la suite des problèmes discrétisés vers la solution du problème d'évolution continu gouverné par le graphon lorsque le nombre des noeuds du graphe tend vers l'infini. Ce faisant, nous exhibons les vitesses de convergence correspondantes pour différents modèles de graphes, et mettons en exergue l'influence de la géométrie du graphon. Dans le cas de graphes aléatoires, en utilisant des inégalités de concentration fines, nous fournissons les vitesses de convergence de la solution discrète vers sa limite continue avec grande probabilité et montrons l'influence de la valeur de p. Abstract – The non-local p-Laplacian evolution equation, governed by given kernel, has various applications to model diffusion phenomena, in particular in signal and image processing. In practice, such an evolution equation is implemented in discrete form (in space and time) as a numerical approximation to a continuous problem, where the kernel is replaced by an adjacency matrix of graph. The natural question that arises is to understand the structure of solutions to the discrete problem, and study their continuous limit. This is the goal pursued in this work. Combining tools from graph theory and non-linear evolution equations, we give a rigorous interpretation to the continuous limit of the discrete p-Laplacian on graphs. More specifically, we consider a sequence of (deterministic) graphs converging to a so-called graphon. The continuous p-Laplacian evolution equation is then discretized on this graph sequence both in space and time. We therefore prove that the solutions of the sequence of discrete problems converge to the solution of the continuous evolution problem governed by the graphon, when the number of graph vertices grows to infinity. We exhibit the corresponding convergence rates for different graph models, and point out the role of the graphon geometry. For random graph sequences, using sharp concentration inequalities, we deliver convergence rate with overwhelming probability and show the influence of the choice of p.

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Yosra Hafiene, Jalal M. Fadili, Abderrahim Elmoataz. Le p-Laplacien non-local sur graphes: du discret au continu. GRTSI, Sep 2017, Juan-les-pins, France. ⟨hal-01589687⟩