Free subgroups of free products and combinatorial hypermaps
Sous-groupes libres de produits libres et dessins d'enfant
Résumé
We derive a generating series for the number of free subgroups of finite index in $\Delta^+ = \mathbb{Z}_p*\mathbb{Z}_q$ by using a connection between free subgroups of $\Delta^+$ and certain hypermaps (also known as ribbon graphs or ``fat'' graphs), and show that this generating series is transcendental. We provide non-linear recurrence relations for the numbers above based on differential equations that are part of the Riccati hierarchy.
We also study the generating series for conjugacy classes of free subgroups of finite index in $\Delta^+$, which correspond to isomorphism classes of hypermaps. Asymptotic formulas are provided for the numbers of free subgroups of given finite index, conjugacy classes of such subgroups, or, equivalently, various types of hypermaps and their isomorphism classes.
On obtient la série génératrice du nombre de sous-groupes libres d'index fini dans $\Delta^+ = \mathbb{Z}_p*\mathbb{Z}_q$ en utilisant le lien entre les sous-groupes libres de $\Delta^+$ et dessins d'enfant de type spécifique. On montre que cette série est transcendante. Aussi, on obtient des relations récursives non-linéaires pour le nombre de dessins indiqués qui provient de la hiérarchie de Riccati.
De plus, on étudie la série génératrice pour le nombre de classes de conjugaison de sous-groupes libres dans $\Delta^+$, qui vaut celle-la du nombre de classes d'isomorphisme de dessins sous considération. Des formules asymptotiques pour le nombre de sous-groupes, leur classes de conjugaison, et également le nombre de dessins et leur classes d'isomorphisme suivent.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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