Normes d'idéaux dans la tour cyclotomique et conjecture de Greenberg

Georges Gras (1)

1 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623)

Pre-print of a publication in “ Annales mathématiques du Québec ”. Let k be a totally real number field and let k_∞ be its cyclotomic Z_p-extension for p totally split in k. This text completes our article entitled: ``Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement r\'eels'' (Annales Mathématiques Blaise Pascal 2017), by means of heuristics on the p-adic behavior of the norms, in k_n/k, of the ideals in k_∞ ; indeed, this conjecture (on the nullity of the invariants λ et µ of Iwasawa) depends of images in the torsion group Tk of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of k, thus of Artin symbols in a finite extension F/k obtained by Galois descent of Tk. An assumption of distribution of these norms implies lambda=mu=0. Several statistics and numerical examples in the quadratic case confirm the probable exactness of such properties which constitute the fundamental obstruction for a proof of Greenberg's conjecture in the sole context of Iwasawa's theory.

Pre-print d'un article publié dans "Annales mathématiques du Québec". Soit k un corps de nombres totalement réel et soit k∞ sa Zp-extension cyclotomique pour p totalement décomposé. Ce travail prolonge notre article Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels (Annales Mathématiques Blaise Pascal 2017), au moyen d'heuristiques sur le comportement p-adique de normes d'idéaux dans k∞/k ; en effet, cette conjecture (sur la nullité des invariants λ et µ d'Iwasawa) dépend d'images de ces normes dans le groupe de torsion T k du groupe de Galois de la prop extension abélienne p-ramifiée maximale de k, donc de leurs symboles d'Artin dans une extension finie F/k obtenue par descente galoisienne de T k. Une hypothèse naturelle de répartition de ces symboles implique λ = µ = 0. Des statistiques dans le cas quadratique confirment la probable exactitude de telles propriétés qui constituent l'obstruction fondamentale à une preuve de la conjecture de Greenberg dans le seul cadre de la théorie d'Iwasawa.

Mots clés: Leopoldt's conjecture; p-adic regulators; Greenberg's conjecture; class field theory; p-class groups; Fermat quotients of algebraic numbers

Mots clés: Iwasawa's theory

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Georges Gras. Normes d'idéaux dans la tour cyclotomique et conjecture de Greenberg : Hypothèses p-adiques sur les normes d'idéaux. Annales mathématiques du Québec, 2019, Ann. math. du Québec, 43, pp.249-280. ⟨10.1007/s40316-018-0108-3⟩. ⟨hal-01546656v3⟩