Équivalence asymptotique des vraisemblances observée et complète dans le modèle de blocs latents

Vincent Brault (1) , Christine Keribin (2, 3) , Mahendra Mariadassou (4)

1 SVH - Statistique pour le Vivant et l’Homme
2 LM-Orsay - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
3 SELECT - Model selection in statistical learning
4 MaIAGE - Mathématiques et Informatique Appliquées du Génome à l'Environnement [Jouy-En-Josas]

Latent Block Model (LBM) is a model-based method to cluster simultaneously the d columns and n rows of a data matrix. Parameter estimation in LBM is a difficult and multifaceted problem. Although various estimation strategies have been proposed and are now well understood empirically, theoretical guarantees about their asymptotic behaviour is rather sparse. We show here that under some mild conditions on the parameter space, and in an asymptotic regime where log(d)=n and log(n)=d go to 0 when n and d go to infinity, (1) the maximum-likelihood estimate of the complete model (with known labels) is consistent and (2) the log-likelihood ratios are equivalent under the complete and observed (with unknown labels) models. This equivalence allows us to transfer the asymptotic consistency to the maximum likelihood estimate under the observed model.

Le modèle de blocs latents est une méthode non supervisée de classification simultanée des n lignes et d colonnes d'une matrice basée sur un modèle probabiliste de mélange. Pour estimer les paramètres de ce modèle, de nom-breux algorithmes sont proposés donnant de bons résultats empiriquement mais les résultats théoriques les confirmant restent encore rares. Dans cet exposé, nous montrons que la structure particulière de ce modèle implique l'équivalence asymptotique du rapport de vraisemblance observée avec celui de la vraisemblance complète sous certaines conditions de bornes sur les paramètres et pour un régime asymptotique tel que log(d)/n et log(n)/d tendent vers 0 avec n et d. Ce résultat permet en particulier de démontrer la normalité asymptotique de l'estimateur du maximum de vraisemblance.

Mots clés: Latent block model; Maximum likelihood ML estimation

Mots clés: Modèle des blocs latents; Estimateur du maximum de vraisemblance

Domaines: Théorie [stat.TH]

Vincent Brault, Christine Keribin, Mahendra Mariadassou. Équivalence asymptotique des vraisemblances observée et complète dans le modèle de blocs latents. XXIV èmes Rencontres de la Société Francophone de Classification, Société Francophone de Classification, Jun 2017, Lyon, France. ⟨hal-01510994⟩