Free Boundary Regularity for Almost-Minimizers
Résumé
In this paper we study the free boundary regularity for almost-minimizers of the functional \begin{equation*} J(u)=\int_{\mathcal O} |\nabla u(x)|^2 +q^2_+(x)\chi_{\{u>0\}}(x) +q^2_-(x)\chi_{\{u<0\}}(x)\ dx \end{equation*} where $q_\pm \in L^\infty(\mathcal O)$. Almost-minimizers satisfy a variational inequality but not a PDE or a monotonicity formula the way minimizers do (see [AC], [ACF], [CJK], [W]). Nevertheless we succeed in proving that, under a non-degeneracy assumption on $q_\pm$, the free boundary is uniformly rectifiable. Furthermore, when $q_-\equiv 0$, and $q_+$ is H\"older continuous we show that the free boundary is almost-everywhere given as the graph of a $C^{1,\alpha}$ function (thus extending the results of [AC] to almost-minimizers).
On étudie la régularité des frontière libres des presque-minimiseurs de la fonctionnelle
$$J(u)=\int_\O |\nabla u(x)|^2 +q^2_+(x)\chi_{\{u>0\}}(x) +q^2_-(x)\chi_{\{u<0\}}(x)\ dx,$$
où $q_\pm \in L^\infty(\O)$.
Les presque-minimiseurs vérifient une in\'egalité variationnelle, mais pas une EDP ni une formule de monotonie comme le font les minimiseurs
(voir \cite{AC}, \cite{ACF}, \cite{CJK}, \cite{W}).
Néanmoins on démontre que, sous une hypothèse de non dégénérescence sur $q_\pm$, leur frontière libre est uniformément rectifiable.
De plus, quand $q_-\equiv 0$ et $q_+$ est Höldérienne, on montre que la frontière libre coincide dans un voisinage de presque tout point
avec un graphe de fonction $C^{1,\alpha}$, ce qui étend les résultats de \cite{AC} aux presque-minimiseurs.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
Loading...