Intrinsic and Apparent Singularities in Flat Differential Systems
Singularités apparentes et intrinsèques des systèmes différentiellement plats
Résumé
In this paper, we study the singularities of locally flat systems, motivated by the solution, if it exists, of the global motion planning problem for such systems. More precisely, flat outputs may be only locally defined because of the existence of points where they are singular, thus preventing from planning trajectories crossing these points. Such points are of different types. Some of them can be easily ruled out by considering another non singular flat output, defined on an open set intersecting the domain of the former one and well defined at the point in question. However, it might happen that no well-defined flat outputs exist at all at some points. We call these points singularities and the other ones \emph{apparent}. A rigorous defintion of these points is introduced in terms of atlas and charts in the framework of the differential geometry of jets of infinite order and Lie-Bäcklund isomorphisms. We then give a criterion allowing to effectively compute intrinsic singularities. Finally, we show how our results apply to global motion planning of the well-known example of non holonomic car.
Dans cet article, nous étudions les singularités des systèmes localement plats, motivés par la résolution, si elle existe, du problème de planification de trajectoire global pour de tels systèmes. Plus précisément, les sorties plates peuvent n'être définies que localement, en raison de l'existence de points où elles sont singulières, empêchant la construction de trajectoires les traversant.. De tels points sont de différents types. Certains peuvent être aisément éliminés en considérant une autre sortie linéarisante, non singulière, définie sur un ouvert contenant le point considéré. Cependant, il peut advenir qu'aucune sortie linéarisante bien définie n'existe au voisinage de certains points. Ceux si sont appelés singularités intrinsèques et les autres singularités apparentes. Une définition rigoureuse est introduite en terme d'atlas et de carte dans le cadre de la géométrie différentielle des jets d'ordre infini et des isomorphismes de Lie-Bäcklund. Nous donnons alors un critère permettant la caractérisation effective de singularités intrinsèques. Nous montrons enfin comment nos résultats s'appliquent à la planification de trajectoire globale pour l'exemple bien connu d'une voiture non-holonome.