Note on Greenberg conjecture

Note sur la conjecture de Greenberg

Jean-François Jaulent (1)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

We use logarithmic ℓ-class groups to take a new view on the Greenberg's conjecture about Iwasawa ℓ-invariants of totally real number fields. By the way we recall and complete some classical results. We give a sufficient logarithmic criterium which is also necessary in the context of the so-called weak conjecture, when the prime ℓ splits completely in F. In the semi-simple case, we unconditionnally prove that the conjecture holds if and only if the logarithmic class group of F capitulates in the Zℓ-cyclotomic tower.

Nous étudions la conjecture de Greenberg sur les ℓ-invariants d'Iwasawa des corps totalement réels, en termes de classes logarithmiques. Nous faisons apparaître un critère suffisant de validité très simple dont nous montrons qu'il est également suffisant dans le contexte de la conjecture faible. Dans le cas semi-simple ℓ-complètement décomposé, nous prouvons que la conjecture est vérifiée en ℓ si et seulement si le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps considéré capitule dans la Zℓ-tour cyclotomique.

Mots clés: Greenberg conjecture; logarithmic class groups; Iwasawa theory

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Jean-François Jaulent. Note sur la conjecture de Greenberg. 2016. ⟨hal-01407300v1⟩