Hyperbolic 4-manifolds, colourings and mutations

Alexander Kolpakov (1) , Leone Slavich (2)

1 Department of Mathematics [University of Toronto]
2 Dipartimento di Matematica [Pisa]

We develop a way of seeing a complete orientable hyperbolic 4-manifold M as an orbifold cover of a Coxeter polytope P ⊂ H 4 that has a facet colouring. We also develop a way of finding a totally geodesic sub-manifold N in M, and describing the result of mutations along N. As an application of our method, we construct an example of a complete orientable hyperbolic 4-manifold X with a single non-toric cusp and a complete orientable hyperbolic 4-manifold Y with a single toric cusp. Both X and Y have twice the minimal volume among all complete orientable hyperbolic 4-manifolds.

Nous proposons une nouvelle approche à construire des variétés hyperboliques M en dimension quatre, par moyens d'un polyèdre de Coxeter P ⊂ H 4 munit avec un coloriage de ses faces. Aussi, nous utilisons notre méthode pour obtenir des sous-surfaces totalement géodésiques plongées dans M, et pour décrire le résultat de mutations par rapport à ses surfaces. Comme application, nous construisons une variété complète hyperbolique non-compacte X avec un bout cuspide non-torique, et une variété complète hyperbolique non-compacte Y avec un bout cuspide torique. Elles sont des nouveaux exemples de variétés hyperboliques complètes non-compactes en dimension quatre avec un seul bout cuspide et volume relativement petit.

Mots clés: 4-manifold; Coxeter group; Hyperbolic geometry; Cobordism

Domaines: Topologie géométrique [math.GT]; Géométrie métrique [math.MG]; Combinatoire [math.CO]

Alexander Kolpakov, Leone Slavich. Hyperbolic 4-manifolds, colourings and mutations. Proceedings of the London Mathematical Society, 2016, 113, pp.163 - 184. ⟨10.1112/plms/pdw025⟩. ⟨hal-01396108⟩