Jacobi's Bound
La borne de Jacobi
יאַקאָביס גרענעץ
Résumé
Jacobi’s results on the computation of the order and of the normal forms of a differential system are translated in the formalism of differential algebra. In the quasi-regular case, we give complete proofs according to Jacobi’s arguments. The main result is Jacobi’s bound, still conjectural in the general case: the order of a differential system P1,…,Pn is not greater than the maximum O of the sums ∑ni=1ai,σ(i), for all permutations σ of the indices, where ai,j:=ordxjPi, viz. the tropical determinant of the matrix (ai,j). The order is precisely equal to O iff Jacobi’s truncated determinant does not vanish. Jacobi also gave a polynomial time algorithm to compute O, similar to Kuhn’s “Hungarian method” and some variants of shortest path algorithms, related to the computation of integers ℓi such that a normal form may be obtained, in the generic case, by differentiating ℓi times equation Pi. Fundamental results about changes of orderings and the various normal forms a system may have, including differential resolvents, are also provided.
Les résultats de Jacobi pour le calcul de l'ordre et des formes normales d'un système différentiel sont exprimés dans le cadre de l'algèbre différentielle. Nous donnons des preuves complètes, inspirées des arguments de Jacobi. Le résultat principal est la borne de Jacobi: l'ordre d'un système différentiel P_i=0 est majorée par le déterminant tropical O de la matrice (a_{i,j}) où a_{i,j} est l'ordre de P_i en la variable x_j. L'ordre est égal à O ssi le déterminant tronqué de Jacobi ne s'annule pas.
Jacobi a aussi donné un algorithme pour calculer O en temps polynomial, similaire à la «méthode hongroise» de Kuhn et des variantes des algorithmes de plus court chemin, en rapport avec le calcul des entiers \ell_i tels qu'une forme normale peut être calculée, sous des hypothèses de généricité, en dérivant \ell_i fois l'équation P_i. Des résultats de base sur les changements d'ordre et les diverses formes normales qu'un système peut admettre, y compris la résolvante différentielle, sont aussi fournis.
יאַקאָביס רעזולטאַטען װעגן דעם חשבון פֿון דער אָרדענונג און די נאָרמאַלע פֿאָרמעס פֿון אַ דיפֿערענציאַלן סיסטעם װערן דערװיזן אין די ראַמען פֿון דיפֿערענציאַלער אַלגעברע. מע גיט גאַנצע דערװײזונגען נאָך יאַקאָביס אַרגומענטען. דער עצם־טעאָרעם איז יאַקאָביס גרענעץ: די אָרדענונג פֿון אַ דיפֿערענציאַלן סיסטעם איז ניט גרעסער װי דעם טראָפּישן דעטערמינענט פֿון דער אָרדענונג־מאַטריצע. די אָרדענונג איז פּונקט גלײך צו דעם גרענעץ אױב און נאָר אױב ס׳איז נישט נול יאַקאָביס אָפּגעשניטן דעטערמינאַנט.
יאַקאָבי האָט אױך געפֿינען אַ פּאָלינאָמישע קאָמפּליצירטקײט אַלגאָריטם צו חשבונען דעם גרענעץ, ענלעך צו קונס „אונגערישן מעטאָד“ און אַ מין קירצערער װעג אַלגאָריטמען, שײך צו דעם חשבון פֿון די קלענסטע צאָלן פֿון דיפֿערענצירונגען, װאָס מען דאַרף טאָן צו רעכענען אַ נאָרמאַלע פֿאָרמע, על־פּי גענערישקײט היפּאָטעזן.
אַ פּאָר יסוותדיקע רעזולטאַטן װעגן סדר ענערונגען און די פֿאַרשײדענע נאָרמאַלע פֿאָרמעס װאָס אַ סיסטעם קען זײ נעמען זײַנען אױך דערצײלט, אַרומנעמענדיק דיפֿערענציעלע רעזאָלװענטן.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)