Intégrales orbitales sur $GL(N,{\Bbb F}_q((t)))$ - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2016

Intégrales orbitales sur $GL(N,{\Bbb F}_q((t)))$

Résumé

Let $F$ be a non--Archimedean local field of characteristic $\geq 0$, and let $G=GL(N,F)$, $N\geq 1$. An element $\gamma\in G$ is said to be quasi--regular if the centralizer of $\gamma$ in $M(N,F)$ is a product of field extensions of $F$. Let $G_{\rm qr}$ be the set of quasi--regular elements of $G$. For $\gamma\in G_{\rm qr}$, we denote by $\mathcal{O}_\gamma$ the ordinary orbital integral on $G$ associated with $\gamma$. In this paper, we replace the Weyl discriminant $\vert D_G\vert$ by a normalization factor $\eta_G: G_{\rm qr}\rightarrow {\Bbb R}_{>0}$ which allows us to obtain the same results as proven by Harish--Chandra in characteristic zero: for $f\in C^\infty_{\rm c}(G)$, the normalized orbital integral $I^G(\gamma,f)=\eta_G^{1\over 2}(\gamma)\mathcal{O}_\gamma(f)$ is bounded on $G$, and for $\epsilon>0$ such that $N(N-1)\epsilon <1$, the function $\eta_G^{-{1\over 2}-\epsilon}$ is locally integrable on $G$.
Soit F un corps local non archimédien de caractéristique ≥ 0, et soit G = GL(N, F ), N ≥ 1. Un élément γ ∈ G est dit quasi–régulier si le centralisateur de γ dans M(N,F) est un produit d’extensions de F. Soit Gqr l’ensemble des éléments quasi–réguliers de G. Pour γ ∈ Gqr, on note Oγ l’intégrale orbitale ordinaire sur G associée à γ. On remplace ici le discriminant de Weyl |DG| par un facteur de normalisation ηG : Gqr → R>0 permettant d’obtenir les mêmes résultats que ceux prouvés par Harish–Chandra en caractéristique nulle : pour f ∈ Cc∞(G), l’intégrale 1 orbitale normalisée IG(γ,f) = ηG2 (γ)Oγ(f) est bornée sur G, et pour ǫ > 0 tel que − 1 −ǫ N(N − 1)ǫ < 1, la fonction η 2 est localement intégrable sur G.

Dates et versions

hal-01327228 , version 1 (06-06-2016)

Identifiants

Citer

Bertrand Lemaire. Intégrales orbitales sur $GL(N,{\Bbb F}_q((t)))$. 2016. ⟨hal-01327228⟩
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