Generalized configuration spaces. i-Acyclic spaces. Basic spectral sequences.

Espaces de configuration généralisés. Espaces topologiques i-acycliques. Suites spectrales basiques.

Alberto Arabia (1)

1 IMJ - Institut de Mathématiques de Jussieu

The generalized configuration spaces are the different fat sub-diagonals of the cartesian product of m copies of a topological space equipped with the action of the symmetric group by permutation of coordinates. When X has no interior cohomology (i-acyclic) the study is greatly simplified and we were able to obtain character formulas for the representations of the symmetric group, so as to prove Church-Farb stability and monotonicity when m tends to infinity, and to show the degeneracy of Leray spectral sequences for the projection maps between the classical ordered configuration spaces. The passage from the case where X is i-acyclic to the general case is made through what we call the "basic" spectral sequences, a kind of bridge between the i-acyclic spaces and general spaces. We were able in this way to extend Church's stability theorem, from standard to generalized configuration spaces and from differential manifolds to pseudomanifolds, in particular, to singular complex algebraic varieties.

Les espaces de configuration généralisés sont les différentes sous-diagonales épaisses du produit cartésien de m copies d'un espace topologique X munies de l'action du groupe symétrique par permutation des coordonnées. Lorsque X est sans cohomologie intérieure (i-acyclique) leur étude se simplifie de manière remarquable, on est alors en mesure de donner des formules de caractères pour les représentations du groupe symétrique, de montrer la stabilité et la monotonie de représentations au sens de Church-Farb lorsque m tend vers l'infini (on parle alors de caractères polynomiaux), de montrer la dégénérescence des suites spectrales de Leray pour les projections des espaces de configuration ordonnées classiques. Le passage des cas ou X est i-acyclique au cas général se fait à travers ce que nous appelons les suites spectrales "basiques", sorte de pont entre les espaces i-acycliques et les espaces généraux. Cela nous a permis de généraliser le théorème de stabilité de Church, des espaces des configuration standard aux généralisés et des les variétés différentielles aux pseudovariétés, en particulier aux variétés algébriques complexes singulières.

Mots clés: configuration space; basix spectral sequence; Leray spectral sequence; representation stability; symmetric group; character

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]; Théorie des représentations [math.RT]

Alberto Arabia. Espaces de configuration généralisés. Espaces topologiques i-acycliques. Suites spectrales basiques.. 2016. ⟨hal-01325863v5⟩