Théorie de la mesure géométrique
Résumé
Geometric Measure Theory focuses on the study of the geometric properties of subsets of the ordinary Euclidean spaces through the concepts and tools of the mathematical Measure Theory. This theory allows the implementation of concepts
generalizing Differential Geometry to a class of surfaces that are not regular (i.e. continuously differentiable). The purpose of this article is to present a synthesis of the basics of the Geometric Measure Theory. The n-dimensional Lebesgue measure and
m-dimensional Hausdorff measures, the Minkowski contents and perimeter measures, the m-dimensional Gross and Favard measures, the fractional Hausdorff measures, the Lebesgue-Hausdorff densities, and the concepts of parallel sets and rectifiability are exposed.
La théorie de la mesure géométrique porte sur l’étude des propriétés géométriques des sous-ensembles des espaces euclidiens ordinaires au moyen des concepts et outils de la théorie de la mesure. Cette théorie permet la mise en place de
notions généralisant la géométrie différentielle à une classe de surfaces qui ne sont pas régulières (i.e. continûment différentiables). Cet article présente les notions de base de la théorie de la mesure géométrique et décrit les mesures n-dimensionnelle de Lebesgue et m-dimensionnelles de Hausdorff, les contenus de Minkowski, les mesures périmétriques,
les mesures m-dimensionnelles de Gross et de Favard, les mesures fractionnaires de Hausdorff, ainsi que les densités de Lebesgue-Hausdorff et les notions d’ensembles parallèles et de rectifiabilité.