Une propriété d' indépendance pour des matrices aléatoires suivant les lois de Kummer et Wishart

Angelo Efoévi Koudou (1)

1 IECN - Institut Élie Cartan de Nancy

For a positive integer r, let I denote the r × r unit matrix. Let X and Y be two independent r × r real symmetric and positive definite random matrices. Assume that X follows a Kummer distribution while Y follows a non-degenerate Wishart distribution, with suitable parameters. This note points out the following observation: the random matrices U := [I + (X + Y) −1 ] 1/2 [I + X −1 ] −1 [I + (X + Y) −1 ] 1/2 and V := X + Y are independent and U follows a matrix beta distribution while V follows a Kummer distribution. This generalizes to the matrix case an independence property established in Koudou and Vallois (2010) for r = 1.

Soit I la matrice unité r × r ` a coefficients réels. soient X et Y des matrices aléatoires r × r réelles symétriques définies positives, indépendantes. Sous l'hypothèse que X suit une loi de Kummer et que Y suit une loi de Wishart avec des paramètres adéquats , nous prouvons l'observation suivante : les matrices U := [I + (X + Y) −1 ] 1/2 [I + X −1 ] −1 [I + (X + Y) −1 ] 1/2 et V := X + Y sont indépendantes , U suit une loi beta matricielle et V suit une loi de Kummer. Ceci constitue la version matricielle d'une propriété d'indépendance établie par Koudou et Vallois (2012) pour r = 1.

Mots clés: Wishart distribution; Matsumoto-Yor property; Matrix Kummer distribu-tion; Matrix Beta distribution

Mots clés: Propriété de Matsumoto-Yor

Domaines: Probabilités [math.PR]; Statistiques [math.ST]

Angelo Efoévi Koudou. Une propriété d' indépendance pour des matrices aléatoires suivant les lois de Kummer et Wishart. 44èmes journées de Statistique, May 2012, Bruxelles, Belgique. ⟨hal-01289024⟩