On Euler’s example of a completely multiplicative function with sum 0

Sur l’exemple d’Euler d’une fonction complètement multiplicative de somme nulle

Jean-Pierre Kahane (1) , Eric Saïas (2)

1 LM-Orsay - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
2 LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires

Euler wrote a formula expressing that l(n)/n is a completely multiplicative function with sum 0 (a CMO function) , where l(n) is the completely multiplicative function equal to -1 on the prime numbers (the Liouville function). We extend this formula to Beurling generalized numbers, using a result of Diamond. As an application we show how to construct a CMO function carried by a set of integers whose counting function is of the form D x^a (1+o(1) ) for any a between 0 and 1.

Euler a publié une formule que nous écrivons aujourd'hui ∞ 1 λ(n) n = 0, λ étant la fonction complètement multiplicative qui vaut −1 sur les nombres premiers. Ainsi λ(n) n est un exemple de fonction CM O (complètement mul-tiplicative à somme nulle). Nous étendons cette formule au cas où λ est dé-nie sur des nombres premiers et entiers généralisés de Beurling, suivant la condition sur les premiers généralisés donnée par Diamond pour assurer la régularité de la distribution des entiers généralisés (théorème 3). En application , nous indiquons comment construire, pour tout a entre 0 et 1, une fonction CM O dont la distribution du support est de la forme Dx a (1 + o(1))

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Jean-Pierre Kahane, Eric Saïas. Sur l’exemple d’Euler d’une fonction complètement multiplicative de somme nulle . Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique, 2016. ⟨hal-01288587⟩