When Does Channel-Output Feedback Enlarge the Capacity Region of the Two-User Linear Deterministic Interference Channel?
Résumé
The two-user linear deterministic interference channel (LD-IC) with noisy channel-output feedback is fully described by six parameters that correspond to the number of bit-pipes between each transmitter and its corresponding intended receiver, i.e., $\overrightarrow{n}_{11}$ and $\overrightarrow{n}_{22}$; between each transmitter and its corresponding non-intended receiver i.e., $n_{12}$ and $n_{21}$; and between each receiver and its corresponding transmitter, i.e., $\overleftarrow{n}_{11}$ and $\overleftarrow{n}_{22}$. An LD-IC without feedback corresponds to the case in which $\overleftarrow{n}_{11} = \overleftarrow{n}_{22} = 0$ and the capacity region is denoted by $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, 0 , 0)$.
In the case in which feedback is available at both transmitters, $\overleftarrow{n}_{11} > 0$ and $\overleftarrow{n}_{22} > 0$, the capacity is denoted by $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, \overleftarrow{n}_{11} , \overleftarrow{n}_{22})$.
This technical report presents the exact conditions on $\overleftarrow{n}_{11}$ (resp. $\overleftarrow{n}_{22}$) for observing an improvement in the capacity region $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, \overleftarrow{n}_{11} , 0)$ (resp. $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, 0 , \overleftarrow{n}_{22})$) with respect to $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, 0 , 0)$, for any $4$-tuple $(\overrightarrow{n}_{11}$, $\overrightarrow{n}_{22}$, $n_{12}$, $n_{21}) \in \mathbb{N}^4$.
Specifically, it is shown that there exists a threshold for the number of bit-pipes in the feedback link of transmitter-receiver pair $1$ (resp. $2$), denoted by $\overleftarrow{n}_{11}^{\star}$ (resp. $\overleftarrow{n}_{22}^{\star}$) for which any $\overleftarrow{n}_{11} > \overleftarrow{n}_{11}^{\star}$ (resp. $\overleftarrow{n}_{22} > \overleftarrow{n}_{22}^{\star}$) enlarges the capacity region, i.e., $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, 0 , 0) \subset C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, \overleftarrow{n}_{11} , 0)$ (resp. $C(\overrightarrow{n}_{11}$, $\overrightarrow{n}_{22}$, $n_{12}$, $n_{21}$, $0$ , $0) \subset C(\overrightarrow{n}_{11}$, $\overrightarrow{n}_{22}$, $n_{12}$, $n_{21}$, $0$, $\overleftarrow{n}_{22})$).
The exact conditions on $\overleftarrow{n}_{11}$ (resp. $\overleftarrow{n}_{22}$) to observe an improvement on a single rate or the sum-rate capacity, for any $4$-tuple $(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21})$ $\in \mathbb{N}^4$ are also presented in this technical report.
Le canal linéaire déterministe à interférences avec rétroalimentation degradée est entièrement décrit par six paramètres qui correspondent au nombre de niveaux de signal entre chaque émetteur et le récepteur destinataire correspondant, i.e., $\overrightarrow{n}_{11}$ et $\overrightarrow{n}_{22}$; entre chaque émetteur et le récepteur non-destinataire correspondant i.e., $n_{12}$ et $n_{21}$; et entre chaque récepteur et son émetteur correspondant, i.e., $\overleftarrow{n}_{11}$ and $\overleftarrow{n}_{22}$. Un canal linéaire déterministe à interférences sans rétroalimentation correspond au cas pour lequel $\overleftarrow{n}_{11} = \overleftarrow{n}_{22} = 0$ et pour lequel la région de capacité est notée $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, 0 , 0)$.
Dans le cas où la rétroalimentation est disponible aux deux émetteurs, $\overleftarrow{n}_{11} > 0$ et $\overleftarrow{n}_{22} > 0$, la région de capacité est notée $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, \overleftarrow{n}_{11} , \overleftarrow{n}_{22})$.
Ce rapport présente les conditions exactes sur $\overleftarrow{n}_{11}$ (resp. $\overleftarrow{n}_{22}$) permettant d'observer une amélioration de la r\'egion de capacité $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, \overleftarrow{n}_{11} , 0)$ (resp. $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, 0 , \overleftarrow{n}_{22})$) compar\'ee \`a $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, 0 , 0)$, pour tout quadruplet $(\overrightarrow{n}_{11}$, $\overrightarrow{n}_{22}$, $n_{12}$, $n_{21}) \in \mathbb{N}^4$.
Plus précisément, ce rapport montre l'existence d'un seuil pour le nombre de niveaux de signal dans le lien de rétroalimentation de la paire émetteur-récepteur $1$ (resp. $2$), not\'e $\overleftarrow{n}_{11}^{\star}$ (resp. $\overleftarrow{n}_{22}^{\star}$) pour lequel tout $\overleftarrow{n}_{11} > \overleftarrow{n}_{11}^{\star}$ (resp. $\overleftarrow{n}_{22} > \overleftarrow{n}_{22}^{\star}$) améliore la région de capacité, i.e., $C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, 0 , 0) \subset C(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21}, \overleftarrow{n}_{11} , 0)$ (resp. $C(\overrightarrow{n}_{11}$, $\overrightarrow{n}_{22}$, $n_{12}$, $n_{21}$, $0$ , $0)\subset C(\overrightarrow{n}_{11}$, $\overrightarrow{n}_{22}$, $n_{12}$, $n_{21}$, $0$, $\overleftarrow{n}_{22})$).
Les conditions exactes sur $\overleftarrow{n}_{11}$ (resp. $\overleftarrow{n}_{22}$) permettant d'observer une amélioration sur le taux de transmission individuel ou sur la somme des taux de transmission, pour tout quadruplet $(\overrightarrow{n}_{11}, \overrightarrow{n}_{22}, n_{12}, n_{21})$ $\in \mathbb{N}^4$ sont également présentées dans ce rapport.
Enfin, une expression généralisée du nombre de degrés de liberté pour le modèle linéaire déterministe du canal à interférences symétrique avec rétroalimentation dégradée est établie.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)