Characterization of bijective discretized rotations by Gaussian integers

Tristan Roussillon (1) , David Coeurjolly (1)

1 M2DisCo - Geometry Processing and Constrained Optimization

A discretized rotation is the composition of an Euclidean rotation with a rounding operation. It is well known that not all discretized rotations are bijective: e.g. two distinct points may have the same image by a given discretized rotation. Nevertheless, for a certain subset of rotation angles, the discretized rotations are bijective. In the regular square grid, the bijective discretized rotations have been fully characterized by Nouvel and Rémila (IWCIA'2005). We provide a simple proof that uses the arithmetical properties of Gaussian integers.

Une rotation discrète est la composition d'une rotation euclidienne et d'une opération d'arrondi. Bien sûr, toutes les rotations discrètes ne sont pas bijectives : par exemple, deux points distincts peuvent avoir la même image pour une rotation discrète donnée. Néanmoins, pour un certain ensemble d'angles, les rotations discrètes sont bijectives. Dans la grille carrée régulière, les rotations discrètes bijectives ont été complètement caractérisées par Nouvel et Rémila (IWCIA'2005). Nous donnons une preuve qui utilise les propriétés arithmétiques des entiers de Gauss.

Mots clés: Gaussian integers; Bijective discretized rotations

Domaines: Mathématique discrète [cs.DM]

Tristan Roussillon, David Coeurjolly. Characterization of bijective discretized rotations by Gaussian integers. [Research Report] LIRIS UMR CNRS 5205. 2016. ⟨hal-01259826⟩