Regular languages and partial commutations

Antonio Cano (1) , Giovanna Guaiana (2) , Jean-Eric Pin (3)

1 Departamento de Sistemas Informáticos y Computación [Valencia]
2 LITIS - Laboratoire d'Informatique, de Traitement de l'Information et des Systèmes
3 LIAFA - Laboratoire d'informatique Algorithmique : Fondements et Applications

The closure of a regular language under a [partial] commutation I has been extensively studied. We present new advances on two problems of this area: (1) When is the closure of a regular language under [partial] commutation still regular? (2) Are there any robust classes of languages closed under [partial] commutation? We show that the class Pol G of polynomials of group languages is closed under commutation, and under partial commutation when the complement of I in A^2 is a transitive relation. We also give a sufficient graph theoretic condition on I to ensure that the closure of a language of Pol G under I-commutation is regular. We exhibit a very robust class of languages W which is closed under commutation. This class contains Pol G and is decidable. It is also closed under intersection, union, shuffle, concatenation, quotients, length-decreasing morphisms and inverses of morphisms. If I is transitive, we show that the closure of a language of W under I-commutation is regular. The proofs are nontrivial and combine several advanced techniques, including combinatorial Ramsey type arguments, algebraic properties of the syntactic monoid, finiteness conditions on semigroups and properties of insertion systems.

La fermeture d'un langage rationnel par commutation [partielle] a été étudiée dans de nombreux articles. Nous présentons ici quelques résultats nouveaux sur deux problèmes centraux de ce domaine: (1) Dans quels cas la fermeture d'un langage rationnel par commutation [partielle] reste-t-elle rationnelle? (2) Y-a-t-il des classes de langages robustes et fermées par commutation [partielle]? Nous montrons que la classe Pol G des polynômes de langages à groupe est fermée par commutation totale et aussi par commutation partielle lorsque le complément de I dans A^2 est une relation transitive. Nous donnons aussi une condition suffisante sur le graphe de I qui assure que la fermeture d'un langage de Pol G par I-commutation est rationnelle. Nous donnons une classe très robuste de langages W fermée par commutation. Cette classe contient Pol G et est décidable. Elle est aussi fermée par intersection, union, mélange, concaténation, quotients, morphismes lettre-à-lettre et inverses de morphismes. Si I est transitive, nous montrons que la fermeture d'un langage de W par I-commutation est rationnelle. Les démonstrations sont non triviales et combinent plusieurs techniques, notamment des arguments combinatoires à la Ramsey, des propriétés algébriques du monoïde syntactique, des conditions de finitude sur les semigroupes et des propriétés de systèmes d'insertion.

Mots clés: partial commutation; regular language; traces

Domaines: Autre [cs.OH]

Antonio Cano, Giovanna Guaiana, Jean-Eric Pin. Regular languages and partial commutations. Information and Computation, 2013, 230, pp.76-96. ⟨10.1016/j.ic.2013.07.003⟩. ⟨hal-01247172⟩