C. Le-disque-unité-sans-bord-de and . Privé-de-l-'origine, En l'origine elles définissent des fonctions méromorphes et on conclut que le quotient f (z) = ?(z)f (z)/?(z) est un vecteur à composantes méromorphes dans le disque unité sans bord de C. De plus, f (z) ??S,?N (1 ? ? ?1 z q ) = z m ?(z)f (z) est analytique dans le disque unité sans bord privé de l'origine. Proposition 6.2. Soit O un sous-anneau de C et A(z) une matrice à coefficients dans C(z) satisfaisant A(0) = Id, telle que ? A (z) ? O[z] et ? A (z)A(z) soit à coefficients dans O[z]. Alors le produit infini A(z)A(z q ) . . . A(z q )

N. Bene, La convergence z-adique du produit infini est à comprendre après développement des coefficients de la matrice A(z) en séries de O

. Démonstration, Id l'énoncé suit de la proposition 6.2, car la proposition 2.2 montre que les matrices fondamentales de solutions se déduisent l'une de l'autre par multiplication à droite par une matrice inversible à coefficients dans C. Dans l'autre direction, l'équation (1, ) entraîne (6.4) det(U (z)) = det(A(z)) · det

U. Ainsi-la-matrice, est inversible et il en est de même de U (z) pour tout z suffisamment proche de 0. L'identité A(z) = U (z)U (z q ) ?1 entraîne A(0) = U (0)U (0) ?1 = Id

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