Mathematical Modelling and Numerical Analysis ERROR ESTIMATE FOR A FINITE VOLUME SCHEME IN A GEOMETRICAL MULTI-SCALE DOMAIN
Résumé
We study a finite volume scheme, introduced in a previous paper, to solve an elliptic linear partial differential equation in a rod structure. The rod-structure is two-dimensional (2D) and consists of a central node and several outgoing branches. The branches are assumed to be one-dimensional (1D). So the domain is partially 1D, and partially 2D. We call such a structure a geometrical multi-scale domain. We establish a discrete Poincaré inequality in terms of a specific H 1 norm defined on this geometrical multi-scale 1D-2D domain, that is valid for functions that satisfy a Dirichlet condition on the boundary of the 1D part of the domain and a Neumann condition on the boundary of the 2D part of the domain. We derive an L 2 error estimate between the solution of the equation and its numerical finite volume approximation.
Nous étudions un schéma de type volumes finis, introduit dans un précédent article, pour résoudre une équation aux dérivées partielles elliptique linéaire dans une structure-tube. La structure-tube est bi-dimensionnelle (2D) et constituée d'un noeud d'où partent plusieurs branches. Les branches sont supposées uni-dimensionnelles (1D). Le domaine sur lequel l'équation est posée est ainsi 1D en partie, et 2D en partie. Il sera qualifié de géométriquement multi-échelle. Nous établissons une inégalité de Poincaré discrète exprimée en fonction d'une norme H 1 spécifique définie sur ce domaine 1D-2D géométriquement multi-échelle, qui est valable pour des fonctions satisfaisant une condition aux limites de Dirichlet sur la frontière de la partie 1D du domaine et une condition de Neumann sur la frontière de la partie 2D du domaine. Nous établissons une majoration d'erreur en norme L 2 entre la solution de l'équation et son approximation par le schéma volumes finis.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)