Renormalized solutions of the fractional Laplace equation

Solutions renormalisées de l’équation de Laplace fractionnaire

Nathael Alibaud (1, 2) , Boris Andreianov (2) , Mostafa Bendahmane (3)

1 ENSMM - Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et des Microtechniques
2 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623)
3 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

We define renormalized solutions for the problems of the kind β(u)+(−)s/2u f in Rn, f ∈ L1(Rn). Here β is a maximal monotone graph in R, and (−)s/2, s ∈ (0, 2), is the fractional Laplace operator which is a particular case of Lévy diffusions. We prove wellposedness in the framework of renormalized solutions. Then the Cauchy problem for the associated evolution equations can be solved using the Crandall–Liggett semigroup technique.

Nous introduisons une notion de solution renormalisée pour les problèmes du genre β(u) + (−)s/2u f in Rn, f ∈ L1(Rn). Ici β est un graphe maximal monotone dans R, et (−)s/2, s ∈ (0, 2), est l’opérateur de Laplace fractionnaire qui est un représentant type des diffusions de Lévy. Nous montrons que le problème est bien posé dans le cadre des solutions renormalisées. Le problème de Cauchy pour l’équation d’évolution associée peut alors se traiter par les techniques de semigroupes.

Mots clés: fractional laplacian; Lévy operator; L1 data; renormalized solution; well-posedness

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Nathael Alibaud, Boris Andreianov, Mostafa Bendahmane. Renormalized solutions of the fractional Laplace equation. Comptes Rendus. Mathématique, 2010, 348, pp. 759-762. ⟨10.1016/j.crma.2010.05.006⟩. ⟨hal-01208279⟩