Un método de descomposición propia generalizada para operadores diferenciales de alto orden

Carlos Quesada (1) , G. Xu (2) , David González (1, 3) , Iciar Alfaro (1, 3) , Adrien Leygue (2) , Michel Visonneau (2) , Elías Cueto (1) , Francisco Chinesta (2)

1 I3A - Aragón Institute of Engineering Research [Zaragoza]
2 Matériaux, Procédés et Technologie des Composites
3 CIBER-BBN. Centro de Investigación Biomédica en Red en Bioingeniería

Los ingenieros han acudido tradicionalmente a la reducción de los modelos como única metodología disponible para solucionar problemas complejos en épocas en las que la capacidad de cál-culo disponible no era mucha. Así, por ejemplo, el modelo de viga de Euler, Bernoulli y Navier desarrolla unas ecuaciones monodi-mensionales para la resolución práctica del campo de desplaza-mientos, deformaciones y tensiones en piezas que son realmente tridimensionales. De la misma manera, el método de los modos normales para resolver problemas elastodinámicos lineales supone que la solución del problema puede escribirse como una combina-ción lineal de unos pocos modos que son realmente las frecuencias propias de vibración de la estructura a analizar. Más recientemente (ya en el siglo XX, de hecho), esta meto-dología de reducción de la complejidad de los modelos ha sido sistematizada y aplicada con éxito en multitud de campos de las ciencias aplicadas y la ingeniería, tanto para problemas lineales [1–4] como no lineales [5,6]. En general, estas técnicas, que reciben nombres distintos en distintos campos de la ciencia, y que han sido redescubiertas en multitud de ocasiones, como Principal Component Analysis (PCA), Proper Orthogonal Decomposition (POD), empirical eigenvectors, o muchos otros nombres similares, buscan funciones Un método de descomposición propia generalizada para operadores diferenciales de alto orden Palabras clave: Reducción de modelos Descomposición propia generalizada Hermite Chebyshev En este artículo se desarrollan dos aproximaciones distintas para la resolución de problemas de alto orden mediante métodos de descomposición propia generalizada (PGD, del inglés Proper Generalized Decomposition). La primera está basada en el uso de técnicas de colocación y polinomios de Chebyshev, mientras que la segunda se basa en el uso de polinomios de Hermite en el marco de una formulación de Galerkin. Ambas poseen ventajas e inconvenientes, que se analizan en detalle con la ayuda de distintos problemas clásicos de validación. Keywords: Model order reduction Proper generalized decompositions Hermite Chebyshev A proper generalized decomposition approach for high-order problems In this paper two different approximations for the solution of high-order problems by proper generalized decompositions (PGD) are developed. The first one is based upon the use of collocation techniques, along with Chebyshev polynomials, while the second employs Hermite polynomials in a Galerkin framework. Both approaches having pros and cons, they are studied with the help of some classical benchmark tests.

Domaines: Sciences de l'ingénieur [physics]

Carlos Quesada, G. Xu, David González, Iciar Alfaro, Adrien Leygue, et al.. Un método de descomposición propia generalizada para operadores diferenciales de alto orden. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 2015, 31 (3), pp.188 - 197. ⟨10.1016/j.rimni.2014.09.001⟩. ⟨hal-01509350⟩