Philosophie et mathématiques entre XIXème et XXème siècle
Filosofia e matematica tra XIX e XX secolo
Résumé
The relationship between mathematics and philosophy in the last two century is analyzed with respect to the development of disciplines, which induced philosophers to underline the opposition between mathematical and philosophical knowledge (Kant, Hegel, Bolzano, Husserl), and with respect to the actual interaction of the two models in mathematical practice. Philosophy of mathematics, divided into a philosophy-driven and a practice-driven approach, reflects this ambivalence. When philosophy of mathematics is guided by philosophy alone, without taking mathematical practice into account, mathematical and philosophical knowledge are associated to distinct reasoning models (based on different definitions and different kinds of arguments) that are separated by disconnected educational systems (see the two cultures issue). When philosophy leads the way, the agenda is driven either by the effort to free mathematics from meaningless metaphysical problems (logical empiricism), or by the urge to reduce mathematics (or at least arithmetic) to logico-philosophical knowledge. But neither reduction nor opposition are adequate means to investigate the relations between philosophy and mathematics, because they do not show how rich the philosophy’s contribution to mathematics is, when the former acts inside mathematics itself. On the contrary, an investigation of the notions of number and magnitude that crosses different branches of mathematical knowledge–from projective geometry to the analysis of the continuum, from the investigation of measurable magnitudes to the axiomatization of arithmetic–shows how the search for definitions in mathematics is a philosophical matter, requiring a critical overview of different branches of mathematics, and presupposing a methodological understanding of the operations of generalization and extension of a theory by means of the introduction of new elements.
Il rapporto tra matematica e filosofia negli ultimi due secoli viene ricostruito tenendo conto sia del fatto che la nascita dei saperi disciplinari ha portato ad una radicalizzazione filosofica dell'opposizione tra sapere matematico e filosofico (Kant, Hegel, Bolzano, Husserl), sia dell’intrecciarsi di fatto dei due modelli di ragionamento nella pratica matematica. La filosofia matematica, distinta oggi in philosophy-driven e in practice-driven, rispecchia questa ambivalenza. Quando la filosofia della matematica si lascia guidare dalla filosofia più che dalla pratica matematica, matematica e filosofia sono spesso associate a due modelli di ragionamento distinti (basati su definizioni e argomenti diversi) e da mantenere separati con sistemi educativi radicalmente opposti (le due culture). Sempre in questa tradizione si insiste talvolta sulla liberazione della matematica dai problemi metafisici privi di significato (empirismo logico), talvolta sulla necessità di ridurre la conoscenza matematica a conoscenza logico-filosofica. Ma né la riduzione né l'opposizione sono due buoni modelli di indagine delle relazioni tra filosofia e matematica, perché non mostrtano quanto ricco sia stato il contributo della filosofia quando essa ha agito all'interno della matematica. Al contrario, l'indagine sui concetti di numero e grandezza, che attraversa diversi rami del sapere matematico - dalla geometria proiettiva allo studio del continuo, dalle indagini sulle grandezze misurabili all'assiomatizzazione dell'aritmetica - mostra bene come la ricerca di una definizione in matematica sia un'attività propriamente filosofica, sia perché richiede una visione d'insieme di varie parti della matematica, sia perché presuppone una riflessione metodologica sul significato delle operazioni di generalizzazione e di estensione di una teoria mediante nuovi elementi.