THE CUBIC SZEGO EQUATION AND HANKEL OPERATORS
EQUATION DE SZEGO CUBIQUE ET OPERATEURS DE HANKEL
Résumé
This monograph is an expanded version of the preprint arXiv:1402.1716 or hal-00943396v1.
It is devoted to the dynamics on Sobolev spaces of the cubic Szegö equation on the circle ${\mathbb S} ^1$,
$$ i\partial _t u=\Pi (\vert u\vert ^2u)\ .$$
Here $\Pi $ denotes the orthogonal projector from $L^2({\mathbb S} ^1)$ onto the subspace $L^2_+({\mathbb S} ^1)$ of functions with nonnegative Fourier modes.
We construct a nonlinear Fourier transformation on $H^{1/2}({\mathbb S} ^1)\cap L^2_+({\mathbb S} ^1)$ allowing to describe explicitly the solutions of this equation
with data in $H^{1/2}({\mathbb S} ^1)\cap L^2_+({\mathbb S} ^1)$. This explicit description implies almost-periodicity of every solution in $H^{\frac 12}_+$. Furthermore, it allows to display the following turbulence phenomenon. For a dense $G_\delta $ subset of initial data in $C^\infty ({\mathbb S} ^1)\cap L^2_+({\mathbb S} ^1)$, the solutions tend to infinity in $H^s$ for every $s>\frac 12$ with super--polynomial growth on some sequence of times, while they go back to their initial data on another sequence of times tending to infinity. This transformation is defined by solving a general inverse spectral problem involving singular values of a Hilbert--Schmidt Hankel operator and of its shifted Hankel operator.
Cette monographie est une version étendue de la prépublication arXiv:1402.1716 ou hal-00943396v1.\\
Elle est consacrée à l'étude de la dynamique, dans les espaces de Sobolev, de l'équation de Szegö cubique sur le cercle ${\mathbb S}^1$,
$$ i\partial _t u=\Pi (\vert u\vert ^2u)\ ,$$
où $\Pi$ désigne le projecteur orthogonal de $L^2({\mathbb S} ^1)$ sur le sous-espace $L^2_+({\mathbb S} ^1)$ des fonctions à modes de Fourier positifs ou nuls.
On construit une transformée de Fourier non linéaire sur $H^{1/2}({\mathbb S} ^1)\cap L^2_+({\mathbb S} ^1)$ permettant de résoudre explicitement cette équation avec données initiales dans $H^{1/2}({\mathbb S} ^1)\cap L^2_+({\mathbb S} ^1)$. Ces formules explicites entraînent la presque périodicité des solutions dans $H^{\frac 12}_+$. Par ailleurs, elles permettent de mettre en évidence le phénomène de turbulence suivant. Pour un $G_\delta$ dense de données initiales de $C^\infty ({\mathbb S} ^1)\cap L^2_+({\mathbb S} ^1)$, les solutions tendent vers l'infini à vitesse sur--polynomiale en norme $H^s({\mathbb S} ^1)$ pour tout $s>\frac 12$ sur une suite de temps, alors qu'elles retournent vers leur donnée initiale sur une autre suite de temps tendant vers l'infini.
Cette transformation est définie {\it via} la résolution d'un problème spectral inverse lié aux valeurs singulières d'un opérateur de Hankel Hilbert-Schmidt et de son opérateur décalé.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)