Absence of a four-body Efimov effect in the 2 + 2 fermionic problem
Absence d'effet Efimov à quatre corps dans le problème à 2+2 fermions
Résumé
In the free three-dimensional space, we consider a pair of identical $\uparrow$ fermions of some species or in some internal state, and a pair of identical $\downarrow$ fermions of another species or in another state. There is a resonant $s$-wave interaction (that is of zero range and infinite scattering length) between fermions in different pairs, and no interaction within the same pair. We study whether this $2+2$ fermionic system can exhibit (as the $3+1$ fermionic system) a four-body Efimov effect in the absence of three-body Efimov effect, that is the mass ratio $\alpha$ between $\uparrow$ and $\downarrow$ fermions and its inverse are both smaller than 13.6069{\ldots}. For this purpose, we investigate scale invariant zero-energy solutions of the four-body Schr\"odinger equation, that is positively homogeneous functions of the coordinates of degree {$s-7/2$}, where $s$ is a generalized Efimov exponent {that becomes purely imaginary in the presence of a four-body Efimov effect.} Using rotational invariance in momentum space, it is found that the allowed values of $s$ are such that $M(s)$ has a zero eigenvalue; here the operator $M(s)$, that depends on the total angular momentum $\ell$, acts on functions of two real variables (the cosine of the angle between two wave vectors and the logarithm of the ratio of their moduli), and we write it explicitly in terms of an integral matrix kernel. We have performed a spectral analysis of $M(s)$, analytical and for an arbitrary imaginary $s$ for the continuous spectrum, numerical and limited to $s = 0$ and $\ell \le 12$ for the discrete spectrum. We conclude that no eigenvalue of $M(0)$ crosses zero over the mass ratio interval $\alpha \in [1, 13.6069\ldots]$, even if, in the parity sector $(-1)^{\ell}$, the continuous spectrum of $M(s)$ has everywhere a zero lower border. As a consequence, there is no possibility of a four-body Efimov effect for the 2+2 fermions. We also enunciated a conjecture for the fourth virial coefficient of the unitary spin-$1/2$ Fermi gas,inspired from the known analytical form of the third cluster coefficient and involving the integral over the imaginary $s$-axis of $s$ times the logarithmic derivative of the determinant of $M(s)$ summed over all angular momenta.The conjectured value is in contradiction with the experimental results.
Dans l'espace libre tridimensionnel, nous considérons une paire de fermions identiques dits $\uparrow$ d'une certaine espèce chimique ou dans un certain état interne, et une paire de fermions identiques dits $\downarrow$ d'une autre espèce chimique ou dans un autre état interne, avec une interaction résonnante dans l'onde partielle $s$ (donc de portée nulle et de longueur de diffusion infinie) entre les fermions n'appartenant pas à la même paire, et pas d'interaction au sein d'une même paire. Le rapport de masse $\alpha$ entre les fermions $\uparrow$ et $\downarrow$ est telqu'il n'y a pas d'effet Efimov à trois corps, c'est-à-dire qu'il est, ainsi que son inverse, inférieur à 13,6069\ldots. Aussi pouvons-nous chercher des solutions à l'équation de Schrödinger à quatre corps d'énergie nulle invariantes d'échelle, c'est-à-dire fonctions positivement homogènes des coordonnées de degré $s-7/2$, où $s$ est un exposant d'Efimov généralisé.La question est de savoir si ce système à $2+2$ fermions peut présenter (comme le système à $3+1$ fermions) un effet Efimov à quatre corps,c'est-à-dire un exposant $s$ imaginaire pur strict, pour certaines valeurs de $\alpha$. En utilisant l'invariance par rotation dans l'espace des impulsions, nous trouvons que les valeurs de $s$ autorisées sont telles que $M(s)$ a une valeur propre nulle, où $M(s)$ est un opérateur, dépendant du moment cinétique total de nombre quantique $\ell$, qui agit sur des fonctions de deux variables réelles (le cosinus de l'angle entre deux vecteurs d'onde et le logarithme du rapport de leurs modules), et dont nous donnons une écriture explicite sous forme d'un noyau intégral matriciel. Après étude spectrale de $M(s)$, analytique et pour $s$ imaginaire pur quelconque en ce qui concerne le spectre continu, numérique et limitée à $s=0$ et $\ell\leq 12$en ce qui concerne le spectre discret, nous concluons qu'aucune valeur propre de $M(0)$ ne croise zéro sur l'intervalle $\alpha \in [1 ; 13,6069\ldots]$, même si, dans le secteur de parité $(-1)^{\ell}$, le spectre continu de $M(s)$ est partout de bord inférieur nul. Il ne peut donc y avoir d'effet Efimov à quatre corps avec $2+2$ fermions.Nous avons aussi proposé puis testé une conjecture sur le quatrième coefficient du viriel, plus précisément sur le quatrième cumulant du gaz unitaire de fermions de spin $1/2$ (de rapport de masse unité)~: compte tenu d'un résultat déjà établi sur le troisième cumulant $b_3$ par Castin et Werner en 2013, on pouvait s'attendre à ce que le quatrième cumulant $b_4$ soit donné lui aussi par l'intégrale sur l'axe des $s$ imaginaire pur de $s$ fois la dérivée logarithmique par rapport à $s$ du déterminant de $M(s)$, somme sur $\ell$ étant prise en incluant le facteur de dégénérescence $2\ell +1$.La valeur de $b_4$ conjecturée est cependant contredite aussi bien par les résultats expérimentaux de l'ENS et du MIT que par le calcul numérique de Rakshit, Daily et Blume de 2012 résolvant directement le problème à quatre corps dans un piège, même si ce dernier est incompatible avec les deux premiers.
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