A MAX-CUT FORMULATION OF 0/1 PROGRAMS
UNE FORMULATION MAX-CUT DES PROGRAMMES 0/1
Résumé
We show that the linear or quadratic 0/1 program
\[P:\quad\min\{ c^Tx+x^TFx : \:A\,x =b;\:x\in\{0,1\}^n\},\]
can be formulated as a MAX-CUT problem whose associated graph is simply related to the matrices $\F$ and $\A^T\A$.
Hence the whole arsenal of approximation techniques for MAX-CUT can be applied. We also compare the lower bound
of the resulting semidefinite (or Shor) relaxation with that of the standard LP-relaxation and the first semidefinite relaxations
associated with the Lasserre hierarchy and the copositive formulations of $P$.
On considère le programme 0/1 linéaire ou quadratique $$\P:\quad f^*=\min\{ \c^T\x+\x^T\F\x : \:\A\,\x =\b;\:\x\in\{0,1\}^n\},$$ où $\c\in\R^n$ , $\b\in\Z^m$ , $\A\in\Z^{m\times n}$ et $\F\in\R^{n\times n}$ est symmétrique. On montre que P peut être formulé comme un problème MAX-CUT dont la forme quadratique forme associée est explicite. En particulier, à P on peut associer un graphe (G, V) dont la connectivité est liée à lea connectivité des matrices F et A^TA, et P revient à trouver une coupe pondérée maximale dans ce graphe. Donc on peut appliquer tout l'arsenal des techniques d'appoximation du problème MAX-CUT can be applied. Sur un échantillon de prpblèmes de sac-à-dos 0/1, on compare la borne inférieure f * de la relaxation SDP de Shor avec la relaxation linéaire classique où {0, 1}^n est remplacé par [0, 1]^n (qui résulte donc en un PL si F = 0 et un programme quadratique si F est positive définie). On compare aussi notre borne inférieure avec celle de la première relaxation SDP associée à la formulation copositive de P.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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