Keller-Lieb-Thirring inequalities for Schrödinger operators on cylinders

Jean Dolbeault (1) , Maria J. Esteban (1) , Michael Loss (2)

1 CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision
2 School of Mathematics - Georgia Institute of Technology

This note is devoted to Keller-Lieb-Thirring spectral estimates for Schrödinger operators on infinite cylinders: the absolute value of the ground state level is bounded by a function of a norm of the potential. Optimal potentials with small norms are shown to depend on a single variable. The proof is a perturbation argument based on recent rigidity results for nonlinear elliptic equations on cylinders. Conversely, optimal single variable potentials with large norms must be unstable. The optimal threshold between the two regimes is established in the case of the product of a sphere by a line. Résumé. Cette note est consacréè a des estimations spectrales de Keller-Lieb-Thirring pour des opérateurs de Schrödinger sur des cylindres infinis : la valeur absolue de l'´ etat fondamental est bornée par une fonction d'une norme du potentiel. Il est montré que les potentiels optimaux de petite norme ne dépendent que d'une seule variable. La preuve provient d'un argument de perturbation qui repose sur des résultats de rigidité récents pour des equations elliptiques non-linéaires sur des cylindres. A l'inverse, les potentiels optimaux de grande norme qui ne dépendent que d'une seule variable sont instables. La valeur optimale qui sépare les deux régimes est etablie dans le cas du produit d'une sphère et d'une droite.

Mots clés: Cylinder; optimal constants; Schrödinger operator; Keller-Lieb-Thirring inequalities; eigenvalues; symmetry; symmetry breaking

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Géométrie différentielle [math.DG]

Jean Dolbeault, Maria J. Esteban, Michael Loss. Keller-Lieb-Thirring inequalities for Schrödinger operators on cylinders. Comptes Rendus. Mathématique, 2015, 353 (9), pp.813-818. ⟨hal-01137403v2⟩