Résolution d'une équation des ondes faiblement non linéaire par les séries de Volterra et décomposition modale
Résumé
Dans cet article, la résolution d'une équation des ondes faiblement non linéaire grâce à une représentation en séries de Volterra est présentée. Le problème considéré est décrit par une équation de Westervelt pour un fluide dissipatif incluant des sources de forces volumiques et des conditions aux bords de type Neumann pour la pression. Dans un premier temps, l'équation de Westervelt dissipative est révisée: le modèle d'amortissement communément admis est en fait à l'origine de composantes divergentes. Un examen de l'établissement du modèle permet de déceler un problème d'inconsitance d'ordre dans les approximations utilisées. Une correction est proposée, qui redonne le comportement attendu. Puis, après avoir introduit les séries de Volterra, la méthode de résolution est présentée. Elle transforme le problème non linéaire en une suite de problèmes linéaires. Chacun est résolu par décomposition modale. Le premier noyau de la série résoud le problème linéarisé. Les suivants expriment les contributions non linéaires pour des ordres de non-linéarité de plus en plus élevés. La décomposition modale des noyaux apporte des interprétations physiques: chaque déformée spatiale est associée à une dynamique non linéaire que l'on exhibe. Enfin des calculs analytiques menés jusqu'à l'ordre 2 (et qui peuvent être poursuivis) permettent d'identifier une réalisation temporelle constituée de filtres linéaires, de somme et de produits instantanés. Un atout majeur d'une telle réalisation est de traiter indifféremment tout type d'excitation f (périodique, quasi-périodique, stationnaire, transitoire, etc).