Planar Markovian Holonomy Fields
Champs d'holonomie markoviens planaires
Résumé
We study planar random holonomy fields which are processes indexed by paths on the plane which behave well under the concatenation and orientation-reversing operations on paths. We define the Planar Markovian Holonomy Fields as planar random holonomy fields which satisfy some independence and invariance by area-preserving homeomorphisms properties. We use the theory of braids in the framework of classical probabilities: for finite and infinite random sequences the notion of invariance by braids is defined and we prove a new version of the de-Finetti's Theorem. This allows us to construct a family of Planar Markovian Holonomy Fields, the Yang-Mills fields, and we prove that any regular Planar Markovian Holonomy Field is a planar Yang-Mills field. This family of planar Yang-Mills fields can be partitioned into three categories according to the degree of symmetry: we study some equivalent conditions in order to classify them. Finally, we recall the notion of Markovian Holonomy Fields and construct a bridge between the planar and non-planar theories. Using the results previously proved in the article, we compute, for any Markovian Holonomy Field, the "law" of any family of contractible loops drawn on a surface.
Les champs d'holonomie sont des processus, indexés par des chemins tracés sur le plan, qui satisfont des propriétés naturelles vis-à-vis de la concaténation et le changement d'orientation des chemins. Les champs d'holonomie markoviens planaires sont alors définis comme étant des champs d'holonomie qui satisfont une certaine propriété d'indépendance ainsi qu'une invariance par les homéomorphismes préservant l'aire. En utilisant le groupe des tresses, on définit la notion de suite aléatoire tressable ce qui permet de démontrer une nouvelle version du théorème de de-Finetti. Ceci nous permet de définir une famille de champs d'holonomie markoviens planaires, les champs de Yang-Mills, et nous prouvons que tout champ d'holonomie markovien planaire régulier est un de ceux-ci. Les champs de Yang-Mills peuvent être classifiés en trois catégories selon leur degré de symétrie: nous donnons des conditions équivalentes afin de les classifier plus simplement. Enfin après avoir rappelé la notion de champ d'holonomie markovien, nous construisons un lien entre les théories planaire et non-planaire ce qui nous permet, comme application des résultats obtenus précédemment, de calculer pour tout champ d'holonomie markovien la loi de toute famille de boucles homotopes à un point tracées sur toute surface bi-dimensionnelle compacte orientée.
Mots clés
exchangeability
random processes
partition functions
lattice gauge theory
Haar measure
compact Lie group
representation of compact Lie groups
Levy process
holonomy
random field
Markovian holonomy fields
Yang-Mills
Yang-Mills measure
singular measures
gauge
Levy processes on Lie groups
continuous limit
rectifiable path
braids
Artin's theorem
symmetry
planar graph
de-Finetti
group of reduced loops
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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