Tight polyhedral embeddings and relative chromatic number of surfaces with boundary
Plongements polyédraux tendus et nombre chromatique relatif des surfaces à bord
Résumé
The relative chromatic number $c_0(S)$ of a compact surface $S$ with boundary is defined as the supremum of the chromatic numbers of graphs embedded in $S$ with all vertices on $\partial S$. This topological invariant was introduced for the study of the multiplicity of the first Steklov eigenvalue of $S$. In this article, we show that $c_0(S)$ is also relevant for the study of tight polyhedral embeddings of $S$ by proving two results. The first one is that if there is a tight polyhedral embedding of $S$ in $R^n$ which is not contained in a hyperplane, then $n\leq c_0(S)-1$. The second result is that this inequality is sharp for surfaces of small genus.
Le nombre chromatique relatif $c_0(S)$ d'une surface compacte $S$ à bord est défini comme la borne supérieure des nombres chromatiques des graphes plongés dans $S$ avec tous leurs sommets sur $\partial S$. Cet invariant topologique a été introduit pour l'étude de la multiplicité de la première valeur propre de Steklov sur $S$. Dans cet article, on montre que $c_0(S)$ est aussi pertinent pour l'étude des plongements polyédraux tendus de $S$ en établissant deux résultats. Le premier est que s'il existe un plongement polyédral tendu de $S$ dans $R^n$ qui n'est pas contenu dans un hyperplan, alors $n\leq c_0(S)-1$. Le second est que cette inégalité est optimale pour les surfaces de petit genre.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)