Families of curves over any finite field attaining the generalized Drinfeld-Vladut bound.
Résumé
We prove the existence of asymptotically exact sequences of algebraic function fields defined over any finite field $\F_q$ having an asymptotically maximum number of places of a degree $r$ where $r$ is an integer $\geq 1$. It turns out that these particular families have an asymptotic class numberwidely greater than all the Lachaud - Martin-Deschamps bounds when $r>1$.We emphasize that we exhibit explicit asymptotically exact sequences of algebraic function fields over any finite field$\F_q$, in particular when $q$ is not a square, with $r=2$. We explicitly construct an example for $q=2$ and $r=4$. We deduce of this study that for any finite field $\F_q$ there exists a sequence of algebraic function fields defined over any finite field $\F_q$ reaching the generalized Drinfeld - Vladut bound.
Nous prouvons l'existence de familles asymptotiquement exactes de corps de fonctions alg\'ebriques d\'efinis sur un corps fini $\F_q$ qui ont un nombre maximum de places de degr\'e $r$ o\`u $r$ est un entier $\geq 1$. Il s'av\`ere que pour ces familles particuli\`eres le nombre de classes est asymptotiquement beaucoup plus grand que la borne g\'en\'erale de Lachaud - Martin-Deschamps quand $r>1$. Pour $r=2$ nous construisons explicitement des suites de corps de fonctions alg\'ebriques sur tout corps fini $\F_q$ qui sont asymptotiquement exactes et ceci m\^eme lorsque $q$ n'est pas un carr\'e. Nous construisons un exemple pour $r=4$ dans le cas o\`u $q=2$. Nous d\'eduisons de cette \'etude que pour tout corps fini $\F_q$ il existe une suite de corps de fonctions alg\'ebriques sur $\F_q$ qui atteint la borne de Drinfeld - Vladut g\'en\'eralis\'ee.