Petite valeurs propres des fibrés principaux en tores
Résumé
Let $M^n$ be a compact $n$-dimensional principal $T^k$-bundle. We consider collapsings of $M$ on $N=M/T^k$ such that the diameter and sectional curvature of $M$ satisfy diam($M$)<$d$ and |$K(M)$|<$a$, and give examples of collapsings for all $k$ such that the first non-zero eigenvalue of Laplacian acting on 1-forms and 2-forms of $M$ are bounded above by $c(M).inj(M)^2k$. Moreover, we prove that the first non-zero eigenvalue of 1-form Laplacian of all T^k-bundle $M$ over $N$ is bounded below by $c(n,d,a,N).Vol(M)^2$ and $c.inj(M)^2k$ when $M$ collapses on $N$.
Soit $M^n$ un fibré principal en tores $T^k$ sur une variété compacte N. On étudie les effondrements de $M$ sur $N$ tels que la courbure sectionnelle et le diamètre de $M$ vérifient $|K(M)|\lt a$ et $diam(M)\lt d$. On montre d'une part que pour tout $k$, il existe des effondrements pour lesquels la première valeur propre du laplacien agissant sur les formes différentielles de degré 1 et 2 est de l'ordre de $inj(M)^{2k}$, et d'autre part que la première valeur propre non nulle du laplacien agissant sur les 1-formes est minorée par $c(n,a,d,N).Vol(M)^2$ et $c.inj(M)^{2k}$ quand $M^n$ s'effondre sur $N$.