Fonctions arithmétiques et formes binaires irréductibles de degré $3$

Armand Lachand (1)

1 IECL - Institut Élie Cartan de Lorraine

In this article, we give some estimates for the average order $\sum_{\substack{|n_1|\leq x,|n_2|\leq x}}h(n_1^3+2n_2^3)$ when $h$ satisfy certain conditions. We provide an asymptotic formula for the number of $y$-friable values of $n_1^3+2n_2^3$ when the variables $n_1,n_2$ lie in the square $[1,x]^2$ and uniformly for $\exp\left(\frac{\log x}{(\log\log x)^{1/2-\varepsilon}}\right)\leq y\leq x$. Our method also applies to some oscillating multiplicative functions like the Möbius function $\mu$ : this gives another proof of the Chowla conjecture for the form $X_1^3+2X_2^3$ recently proved by Helfgott in the more general case of binary and irreducible cubic forms.

Dans cet article, nous obtenons des estimations de l'ordre moyen $\sum_{\substack{|n_1|\leq x,|n_2|\leq x}}h(n_1^3+2n_2^3)$ pour des fonctions arithmétiques $h$ soumises à certaines conditions. On donne en particulier une formule asymptotique du nombre d'entiers $y$-friables de la forme $n^3_1+2n_2^2$ où $(n_1,n_2)$ parcourent $[1,x]^2$, uniforme dans la région $\exp\left(\frac{\log x}{(\log\log x)^{1/2-\varepsilon}}\right)\leq y\leq x$. La méthode utilisée s'applique également à des fonctions multiplicatives oscillantes comme la fonction $\mu$ de Möbius : il s'ensuit une nouvelle preuve de la conjecture de Chowla pour la forme $X_1^3+2X_2^3$, récemment démontrée par Helfgott dans le cas plus général des formes binaires cubiques irréductibles.

Mots clés: Friables integers; Sieves; Binary forms; Multiplicative functions

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Armand Lachand. Fonctions arithmétiques et formes binaires irréductibles de degré $3$. Annales de l'Institut Fourier, 2018, 68 (3), ⟨10.5802/aif.3189⟩. ⟨hal-01053649v3⟩