Quelques méthodes multi-échelles adaptées au calcul de structures
Résumé
Lors de simulations en général, et de calcul de structures en particulier, il est toujours nécessaire de se poser la question de l'échelle pertinente des phénomènes que l'on cherche à prendre en compte.
Cette problématique est bien entendu aussi présente dans la modélisation du comportement des matériaux, en particulier avec la définition d'un volume élémentaire représentatif (VER) dans lequel on considère les quantités d'intérêt comme plus ou moins homogènes ; on tronque ainsi les effets plus locaux, c'est à dire dont la longueur de variation est d'un ordre de grandeur plus petite que la taille du VER.
La problématique est alors de pouvoir obtenir des quantités d'intérêt dites macro (pour macroscopiques) suffisamment représentatives des moyennes des quantités locales dites micro (pour microscopiques) sans avoir à faire une simulation à une échelle inférieure (échelle micro).
On peut cependant noter qu'avec les moyens de calcul actuels, dont les capacités de traitement sont accrues (rapidité, capacité mémoire, parallélisme, etc), on devient capable de simuler à une échelle de plus en plus fine pour obtenir des résultats de plus en plus précis et prédictifs.
Cependant, on trouve toujours une limite inférieure. Il existe par exemple actuellement des simulations de modèles atomistiques de dislocations.
L'objectif est de pouvoir comprendre certains phénomènes intervenant à cette échelle, pour mieux élaborer des modèles phénoménologiques (macroscopiques) de comportement ; il est encore aujourd'hui impensable de simuler l'ensemble d'une structure à une telle échelle.
Un autre exemple typique est celui des matériaux composites (plus généralement des structures hétérogènes). On peut les considérer comme des structures à part entière lorsqu'on cherche à décrire les phénomènes mis en jeu au niveau des constituents élémentaires (les fibres et la matrice par exemple). La connaissance de tels phénomènes peut être nécessaire, par exemple pour établir les critères de dégradation du matériau qui dépendent de telles quantités micro.
Des stratégies de calcul tirant parti des caractéristiques de ces structures doivent être mises en place pour pouvoir simuler de façon précise, sans avoir des coûts de calcul prohibitifs (trop longue durée de traitement ou trop grande capacité mémoire requise).
Ces techniques sont souvent liées à l'aspect homogénéisation des structures ou des matériaux. Cet aspect sera brièvement rappelé dans la première partie.
La deuxième partie, quant à elle, présentera une approche récente qu'on pourra classer dans les modèles de matériaux complexes (dont l'état est décrit par un grand nombre de variables internes) nécessitant des redescentes au niveau micro.
Un autre aspect des méthodes multi-échelles concerne les techniques purement numériques de résolution d'un problème déjà modélisé, techniques de résolution parfois indépendantes même de la nature du problème posé. Un exemple typique est celui des méthodes multi-grilles dont le principe est décrit dans la troisième partie.
Le point remarquable est que les deux aspects mécanique et numérique précédemment évoqués, sont intimement mêlés dans plusieurs des tendances actuelles des stratégies de calcul pour des problèmes qui présentent des phénomènes à des échelles différentes, et qui utilisent des stratégies de résolution évoluées tenant compte de ces particularités.
La troisième partie présente une telle approche dans le cadre des méthodes multi-grilles, et la dernière partie, dans celui des méthodes de décomposition de domaine multi-échelles.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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