Second-order sufficient conditions for strong solutions to optimal control problems

Joseph Frederic Bonnans (1, 2) , Xavier Dupuis (1, 2) , Laurent Pfeiffer (1, 2)

1 CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique
2 Commands - Control, Optimization, Models, Methods and Applications for Nonlinear Dynamical Systems

In this report, given a reference feasible trajectory of an optimal control problem, we say that the quadratic growth property for bounded strong solutions holds if the cost function of the problem has a quadratic growth over the set of feasible trajectories with a bounded control and with a state variable sufficiently close to the reference state variable. Our sufficient second-order optimality conditions in Pontryagin form ensure this property and ensure a fortiori that the reference trajectory is a bounded strong solution. Our proof relies on a decomposition principle, which is a particular second-order expansion of the Lagrangian of the problem.

Nous considérons dans ce rapport une trajectoire admissible d'un problème de commande optimale et disons que la propriété de croissance quadratique pour des solutions fortes est satisfaite si la fonction coût du problème a une croissance quadratique sur l'ensemble des trajectoires dont la commande est bornée et dont la variable d'état est suffisamment proche de la variable d'état de référence. Nos conditions d'optimalité du second ordre sous forme Pontryaguine garantissent cette propriété et a fortiori que la trajectoire de référence est une solution forte. Notre preuve s'appuie sur un principe de décomposition, qui est un développement particulier du lagrangien du problème au second ordre.

Domaines: Optimisation et contrôle [math.OC]

Joseph Frederic Bonnans, Xavier Dupuis, Laurent Pfeiffer. Second-order sufficient conditions for strong solutions to optimal control problems. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 2014, 20 (03), pp.704-724. ⟨10.1051/cocv/2013080⟩. ⟨hal-00825260⟩