U. En-définissant-alors-les-sous-groupes-unipotent and G. Dans, k) comme ceux engendrés respectivement par les u ? (t) et les n ? (t) pour ? ? R + , les relationsénuméréesrelationsénumérées ci-dessus permettent de voir, par récurrence sur le nombre de générateurs u ?? , u ±? nécessaires pourécrirepourécrire unélémentunélément, que toutélémenttoutélément de G(2, k) s'´ ecrit demanì ere unique

. Au-1, ? n } les racines simples de telle sorte que m ?i,?j = 2 si |i ? j| > 1 et m ?i,?i+1 = 3. On rappelle que G(n, k) est défini de la façon suivante : G(n, k) = u ±?i (t), 1 i n, t ? k, ?? = ? ? ±? et que ? : G(n, k) ? SL(n + 1, k) est l'homomorphisme associantàassociantà chaque générateur u ? (t) la matrice correspondante

G. On-définit-dans, ?j (u, v, u ? , v ? ) pour |i ? j| = 1 et (u, v, u ? , v ? ) ? P * 2 comme on l

?. Pour-? and . ±?, le quotient G ? (n, k) de G(n, k) par la relation u ? (t) = 1, ?t ? k : G ? (n, k) = G(n

G. Soit, par les relations (R) pour |i ? j| = 1, relations qui traduisent l'action des n ?i sur les u ±?j lorsque m ?i,?j = 3

G. En-notant-de-façon-identique-lesélémentsleséléments-de, k), les u ? pour ? non simple sont définis dans G(n, k) ` a partir des u ?i ou des u ??i selon le signe de ?. LesélémentsLeséléments n ? sont définis soitàsoità partir des u ±?

S. and ?. ±?, il s'agit d'une des relations (R) ajoutées

. Cette-relationétantéquivalenterelationétantrelationétantéquivalente and . Le-lemme, a la formule de commutateur entre u w?(? ? ) et u ? , on a ainsi, avec les relations h ? (t).h ? (t ? ) = h ? (tt ? ) ´ etablies au paragraphe précédent

. On, on préfère, ´ etablir l'existence dans G(n, k) d'une forme canonique (voir la remarque 8), ce quí etablit l

L. and K. Yb, SL(n+1, k) est engendré par les c ?i,?j (u, v, u ? , v ? ) pour ? i , ? j ? ±?, tels que |i ? j| = 1 et

A. Chaque-racine-simple-? and ?. , n ? (t) ou u ?? (t) et on considère le quotient du mono¨?demono¨?de libre sur ces symboles par des relations de tresses. Ces mono¨?desmono¨?des sont alors des groupes. Les relations de tresses (T i ) et (N i ) pour i = 0 La relation (R) est définie au § 9.2, page 16 ; les relations (R i ) pour i = 1, 2, 3 sont données page 18. On rappellé egalement les définitions des différents sous-groupesàgroupesà un paramètre utilisés pourétablirpourétablir les présentations. En général, cesélémentsceséléments sont u ? (t) ou n ? (t) o` u ? n'est pas une racine simple et ils sont définis par récurrence

. Enfin-on-rappelle and . Qu, a tout couple de racines distinctes, la fonction ? associe la valeur +1 ou ?1 selon un ordre imposéimposéà l'ensemble des racines de même signe

N. Le-groupe, § 8) est le quotient du mono¨?demono¨?de libre sur les symboles n ? (t) pour ? ? ?, t ? k * , par les relations (?? = ? ? ?) : ? n ? vérifie

G. Le-groupe, § 6) est le quotient du mono¨?demono¨?de libre sur les symboles u ? (t) et u ?? (t) pour ? ? ?, t ? k, par les relations (?? = ? ? ?) : ? u ? vérifie

G. Le-groupe, § 10) est le quotient de G(n, k) par les relations de tresses (?? = ? ? ?) : ? (R) : n ? (u).u ±? (v).n ? (?u) = n ? (u ? ).u ±? (v ? )

C. Le-groupe and . Au, 11 est le quotient du mono¨?demono¨?de libre sur les symboles u ? (t) pour ? ? ?, t ? k et les symboles n ? (t) pour ? ? ?, t ? k * , par les relations (?? = ? ? ?) : ? u ? vérifie

. Remerciements, Je remercie Daniel Bennequin de m'avoir confié, il y a de nombreuses années maintenant , ce sujet

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