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Article Dans Une Revue Compositio Mathematica Année : 2014

Spectre et géométrie conforme des variétés compactes à bord

Pierre Jammes

Résumé

We prove that on any compact manifold $M^n$ with boundary, there exist a conformal class $C$ such that for any riemannian metric $g\in C$ ofunit volume, the first positive eigenvalue of the Neumann Laplacian satisfies $\lambda_1(M^n,g)< n Vol(S^n,g_{\textrm{can}})^{2/n}$. We also prove a similar inequality for the first positive Steklov eigenvalue. The proof relies on a handle decomposition of the manifold. We also prove that the conformal volume of $(M,C)$ is $Vol(S^n,g_{\textrm{can}})$, and that the Friedlander-Nadirashvili and the Möbius volume of $M$ are equal to those of the sphere. If $M$ is a domain in a space form, $C$ is the conformal class of the canonical metric.
On montre que sur toute variété compacte $M^n$ à bord, il existe une classe conforme $C$ telle que pour toute métrique $g\in C$ de volume 1, la première valeur propre non nulle du laplacien de Neumann vérifie $\lambda_1(M^n,g)< n Vol(S^n,g_{\textrm{can}})^{2/n}$. On montre une majoration analogue pour la première valeur propre non nulle de Steklov. La démonstration est basée sur une décomposition en anse de la variété. On montre aussi que le volume conforme de $(M,C)$, l'invariant de Friedlander-Nadirashvili et le volume de Möbius de $M$ sont ceux de la sphère $(S^n,g_{\textrm{can}})$. Si $M$ est un domaine euclidien, hyperbolique ou sphérique, alors $C$ est la classe conforme de la métrique canonique.

Dates et versions

hal-00769258 , version 1 (30-12-2012)

Identifiants

Citer

Pierre Jammes. Spectre et géométrie conforme des variétés compactes à bord. Compositio Mathematica, 2014, 150 (12), pp.2112-2126. ⟨10.1112/S0010437X14007696⟩. ⟨hal-00769258⟩
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