Première valeur propre du laplacien, volume conforme et chirurgies
Résumé
We define a new differential invariant a compact manifold by $V_{\mathcal M}(M)=\inf_g V_c(M,[g])$, where $V_c(M,[g])$ is the conformal volume of $M$ for the conformal class $[g]$, and prove that it is uniformly bounded above. The main motivation is that this bound provides a upper bound of the Friedlander-Nadirashvili invariant defined by $\inf_g\sup_{\tilde g\in[g]}\lambda_1(M,\tilde g)Vol(M,\tilde g)^{\frac 2n}$. The proof relies on the study of the behaviour of $V_{\mathcal M}(M)$ when one performs surgeries on $M$.
On définit dans cet article un nouvel invariant differentiel des variétés compactes par $V_{\mathcal M}(M)=\inf_g V_c(M,[g])$, où $V_c(M,[g])$ désigne le volume conforme de la variété $M$ pour la classe conforme $[g]$, et on montre que cet invariant est uniformément majoré. La principale motivation est qu'on en déduit une majoration de l'invariant de Friedlander et Nadirashvili défini par $\inf_g\sup_{\tilde g\in[g]}\lambda_1(M,\tilde g)Vol(M,\tilde g)^{\frac 2n}$.La démonstration consiste à étudier comment évolue l'invariant $V_{\mathcal M}(M)$ quand on pratique des chirugies sur $M$.