Minoration conforme du spectre du laplacien de Hodge-de Rham
Résumé
Let $M^n$ be a n-dimensional compact manifold, with $n\geq3$. For any conformal class C of riemannian metrics on M, we set $\mu_k^c(M,C)=\inf_{g\in C}\mu_{[\frac n2],k}(M,g) Vol(M,g)^{\frac2n}$, where $\mu_{p,k}(M,g)$ is the k-th eigenvalue of the Hodge laplacian acting on coexact p-forms. We prove that $0<\mu_k^c(M,C)\leq\mu_k^c(S^n,[g_{can}])\leq k^{\frac2n}\mu_1^c(S^n,[g_{can}])$.
Soit $M^n$ une variété compacte de dimension $n\geq3$. Pour toute classe conforme $C$ de métriques riemanniennes sur $M$, on pose$\mu_k^c(M,C)=\inf_{g\in C}\mu_{\left[\frac n2\right],k}(M,g) Vol(M,g)^{\frac2n}$, où $\mu_{p,k}(M,g)$ est la $k$-ième valeur propredu laplacien de Hodge-de~Rham agissant sur les $p$-formes coexactes. On démontre que $0<\mu_k^c(M,C)\leq\mu_k^c(S^n,[g_\textrm{can}])\leq k^{\frac2n}\mu_1^c(S^n,[g_\textrm{can}])$. On montre aussi que si $n=0,2,3\textrm{ mod }4$ et si $g$ est une metrique lisse telle que$\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g) Vol(M,g)^{\frac2n}=\mu_1^c(M,[g])$, alors il existe une forme propre non nulle de degré $\left[\frac{n-1}2\right]$et de valeur propre $\mu_1^c(M,[g])$ qui est de longueur constante. En conséquence, il n'existe pas de métrique extrémale lisse si $n=4$ etque la caractéristique d'Euler de $M$ est non nulle.