Effondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens

Pierre Jammes (1)

1 LMA - EA2151 Laboratoire de Mathématiques d'Avignon

Let F be a riemannian flow on a closed manifold M. We study the behavior of the first eigenvalues of the Hodge Laplacian acting on differential forms under adiabatic collapsing of the flow. We show that the number of small eigenvalues is related to the basic cohomology of F, and give spectral criteria for the vanishing of the Álvarez class and the Euler class of F. We also define a diophantine invariant of the flow wich is related to the asymptotical behavior of the small eigenvalues. An appendix is devoted to arithmetic properties of riemannian flows.

On étudie le comportement des premières valeurs propres du laplacien agissant sur les formes différentielles lors d'un effondrement adiabatique d'un flot riemannien $\mathcal F$ sur une variété compacte $M$. Le nombre de petites valeurs propres peut alors se calculer en fonction de la cohomologie basique de $\mathcal F$, et on donne des critères spectraux pour l'annulation des classes d'Álvarez et d'Euler du flot. En outre, on définit un invariant de nature diophantienne du flot qui est lié au comportement asymptotique des petites valeurs propres. Un appendice est consacré aux propriétés arithmétiques des flots riemanniens.

Mots clés: collapsing manifolds; Hodge Laplacian; small eigenvalues; riemannian flows; diophantine approximations

Mots clés: laplacien de Hodge-de Rham; petites valeurs propres; approximations diophantiennes; laplacien de Hodge; effondrement de variétés; flots riemanniens

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]; Théorie spectrale [math.SP]

Pierre Jammes. Effondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens. Annales de l'Institut Fourier, 2010, 60 (1), p. 257-290. ⟨10.5802/aif.2522⟩. ⟨hal-00762959⟩