Imaginärquadratische Einbettung von Ordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen

Norbert Krämer (1)

1 Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn

Seien k ein imaginaerquadratischer Zahlkoerpemit Hauptordnung o, F eine rationale Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Algebra. Wir klassifizieren die F-Ordnungen G, die sich optimal in eine M-Maximalordnung N einbetten lassen, d. h. fuer die G = F geschnitten N gilt. Der Isomorphietyp von N haengt nur von der Diskriminante von G ab. Ist F' in M eine zweite rationale Quaternionenalgebra und N' eine zweite M-Maximalordnung, so ist unser Hauptergebnis der Nachweis einer Beziehung zwischen den Einbettungen G = F geschnitten N und G' = F' geschnitten N'. Auf dieser Grundlage koennen wir speziell ermitteln, ob die Bianchi-Gruppe PSL_2(o) 3-Dieder-, Tetraeder- oder maximalendliche 2-Diedergruppen enthaelt. Wir ermitteln die Anzahl optimaler Einbettungen von G in N bis auf Konjugation mit Elementen aus Einheiten in N. Damit berechnen wir speziell die Konjugationsklassenzahlen nichtzyklischer endlicher Untergruppen der Bianchi-Gruppe neu. Weiter zeigen wir fuer m = 2,3, wie sich m-Diederuntergruppen in Gruppen der Ordnung m schneiden. Schliesslich dehnen wir unsere Ergebnisse auf Eichler-Ordnungen und speziell Kongruenzuntergruppen aus.

Let k be an imaginary quadratic number field, let F be a rational quaternion algebra and M an extension of F as a quaternion k-algebra. We are going to classify the F-orders which arise as an intersection of F with a maximal M-order; and we are going to prove that the discriminant of such an intersection determines uniquely the isomorphism type of the corresponding maximal M-order. Building on this, we are going to relate this intersection to the intersection of a second rational quaternion algebra F' in M with a second maximal M-order. This allows us to determine whether the Bianchi group over the maximal k-order contains 3-dihedral, tetrahedral or 2-dihedral groups which are maximal as a finite subgroup. Additionally, we determine the number of maximal M-orders which respectively admit the same intersection with F. Building on this, we calculate the numbers of conjugacy classes of non-cyclic maximal finite subgroups in the given Bianchi group. In the final two chapters, we investigate non-trivial intersections of non-cyclic finite subgroups of the Bianchi groups and extend our results to Eichler orders and especially to Bianchi congruence subgroups.

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]; K-théorie et homologie [math.KT]

Norbert Krämer. Imaginärquadratische Einbettung von Ordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen. 2014. ⟨hal-00720823v7⟩