Imaginärquadratische Einbettung von Ordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen

Norbert Krämer (1)

1 Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn

Seien k ein imaginaerquadratischer Zahlkoerper, F eine rationale Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionenalgebra. Wir klassifizieren die F-Ordnungen, die als Durchschnitt einer M-Maximalordnung mit F auftreten. Wir zeigen, dass der Isomorphietyp einer M-Maximalordnung durch die Diskriminante ihres Durchschnitts mit F bestimmt ist. Wir setzen dann diesen Durchschnitt in Beziehung zum Durchschnitt einer zweiten M-Maximalordnung mit einer zweiten rationalen Quaternionenalgebra in M. Damit koennen wir ermitteln, ob die Bianchi-Gruppe ueber der Hauptordnung von k 3-Dieder-, Tetraeder- oder maximalendliche 2-Diedergruppen enthaelt. Zusaetzlich bestimmen wir die Anzahl der M-Maximalordnungen, die mit F jeweils denselben Durchschnitt haben. Damit berechnen wir die Konjugationsklassenzahlen der nichtzyklischen maximalendlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppe. In den abschliessenden zwei Kapiteln untersuchen wir die nichttrivialen Durchschnitte der nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen; und erweitern unsere Ergebnisse in die Richtung von Eichler-Ordnungen und insbesondere Kongruenzuntergruppen der Bianchi-Gruppen.

Let k be an imaginary quadratic number field, let F be a rational quaternion algebra and M an extension of F as a quaternion k-algebra. We are going to classify the F-orders which arise as an intersection of F with a maximal M-order; and we are going to prove that the discriminant of such an intersection determines uniquely the isomorphism type of the corresponding maximal M-order. Building on this, we are going to relate this intersection to the intersection of a second rational quaternion algebra F' in M with a second maximal M-order. This allows us to determine whether the Bianchi group over the maximal k-order contains 3-dihedral, tetrahedral or 2-dihedral groups which are maximal as a finite subgroup. Additionally, we determine the number of maximal M-orders which respectively admit the same intersection with F. Building on this, we calculate the numbers of conjugacy classes of non-cyclic maximal finite subgroups in the given Bianchi group. In the final two chapters, we investigate non-trivial intersections of non-cyclic finite subgroups of the Bianchi groups and extend our results to Eichler orders and especially to Bianchi congruence subgroups.

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]; K-théorie et homologie [math.KT]

Norbert Krämer. Imaginärquadratische Einbettung von Ordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen. 2014. ⟨hal-00720823v6⟩