Imaginärquadratische Einbettung von Maximalordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen

Norbert Krämer (1)

1 Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn

Seien k ein imaginaerquadratischer Zahlkoerper, F und F' zwei rationale Quaternionenalgebren und M eine gemeinsame Erweiterung von F, F' zur k-Quaternionenalgebra. Wir klassifizieren die Durchschnitte der M-Maximalordnungen mit F und zeigen, dass der Isomorphietyp einer M-Maximalordnung nur vom Index des Durchschnitts in einer F-Maximalordnung abhaengt. Wir setzen dann die Durchschnitte von zwei M-Maximalordnungen mit F bzw. F' zueinander in Beziehung (Satz 5.8). Damit koennen wir ermitteln, ob die Bianchi-Gruppe ueber der Hauptordnung von k
3-Dieder-, Tetraeder- oder maximalendliche 2-Diedergruppen enthaelt (Satz 6.8). Zusaetzlich bestimmen wir die Anzahl der M-Maximalordnungen, die mit F jeweils denselben Durchschnitt haben. Damit berechnen wir die Konjugationsklassenzahlen der nichtzyklischen maximalendlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppe (Satz 7.5).

Let k be an imaginary quadratic number field, let F and F' be rational quaternion algebras and let M be a common extension of F and F' as a quaternion k-algebra. We are going to classify the F-orders which arise as an intersection of F with a maximal M-order; and we are going to prove that the index of such an intersection within a maximal F-order determines uniquely the isomorphism type of the corresponding maximal M-order. Then, we are going to relate the intersections of two maximal M-orders with F, respectively F' (Satz 5.8). This allows us to determine whether the Bianchi group over the maximal k-order contains 3-dihedral, tetrahedral or 2-dihedral groups which are maximal as a finite subgroup (Satz 6.8). Additionally, we determine the number of maximal M-orders which respectively admit the same intersection with F. Building on this, we calculate the numbers of conjugacy classes of non-cyclic maximal finite subgroups in the given Bianchi group (Satz 7.5).

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Norbert Krämer. Imaginärquadratische Einbettung von Maximalordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen. 2014. ⟨hal-00720823v3⟩