Imaginärquadratische Einbettung von Maximalordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen

Norbert Krämer (1)

1 Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn

Seien k ein imaginärquadratischer Zahlkörper, F eine rationale Quaternionenalgebra und M eine Erweiterung von F zur k-Quaternionenalgebra. Wir klassifzieren die F -Ordnungen, die Durchschnitt von F mit einer M -Maximalordnung sind, und wir weisen nach, dass der Index eines solchen Durchschnitts in einer F-Maximalordnung eindeutig den Isomorphietyp der jeweiligen M-Maximalordnung bestimmt. Wir setzen dann die Einbettungen von Ordnungen zweier rationaler Quaternionenalgebren in M-Maximalordnungen zueinander in Beziehung (Satz 5.8). Damit können wir ermitteln, ob die Bianchi-Gruppe über der Hauptordnung von k 3-Dieder-, Tetraeder- oder maximalendliche 2-Diedergruppen enthält (Satz 6.5).

Let k be an imaginary quadratic number field, let F be a rational quaternion algebra and M an extension of F as a quaternion k-algebra. We are going to classify the F-orders which arise as an intersection of F with a maximal M-order; and we are going to prove that the index of such an intersection within a maximal F-order determines uniquely the isomorphism type of the corresponding maximal M-order. Building on this, we are going to relate the embeddings of orders of any two rational quaternion algebras into maximal M-orders (Satz 5.8). This allows us to determine whether the Bianchi group over the maximal k-order contains 3-dihedral, tetrahedral or 2-dihedral groups which are maximal as a finite subgroup (Satz 6.5).

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Norbert Krämer. Imaginärquadratische Einbettung von Maximalordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen. 2013. ⟨hal-00720823v2⟩