Imaginärquadratische Einbettung von Maximalordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen

Norbert Krämer (1)

1 Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn

Zusammenfassung. Sei F eine rationale Quaternionenalgebra, und sei k ein imaginärquadratischer Zerfällungskörper von F. Erweitert man F zur 2x2-Matrixalgebra über k, dann lässt sich jede F-Maximalordnung in eine Maximalordnung dieser Erweiterung einbetten. Wir zeigen, dass alle einbettenden Maximalordnungen isomorph zueinander sind, und dass und wie ihr Isomorphietyp (in Relation zur 2x2-Matrixalgebra über der Hauptordnung von k) nur vom Verzweigungsverhalten von F abhängt (Satz 6.2). Damit können wir ermitteln, ob die Bianchi-Gruppe über der Hauptordnung von k 3-Dieder-, Tetraeder- oder maximalendliche 2-Diedergruppen enthält (Satz 7.1).

Let F be a rational quaternion algebra, and let k be an imaginary quadratic splitting field of F. If one extends F to a 2x2 matrix algebra over k, then every maximal order of F can be embedded into a maximal order of this extension. We show that all embedding maximal orders are isomorphic to each other, and that and how their isomorphism type (in relation to the 2x2 matrix algebra over the maximal order of k) depends only on the ramification behavior of F (theorem 6.2). This enables us to determine whether the Bianchi group over the maximal order of k contains 3-dihedral groups, tetrahedral groups or maximally finite 2-dihedral groups (theorem 7.1).

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Norbert Krämer. Imaginärquadratische Einbettung von Maximalordnungen rationaler Quaternionenalgebren, und die nichtzyklischen endlichen Untergruppen der Bianchi-Gruppen. 2012. ⟨hal-00720823v1⟩