Simultaneous lower bounds for linear forms in logarithms of algebraic numbers
Minorations simultanées de formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques
Résumé
This work falls within the theory of linear forms in logarithms over a commutative linear group defined over a number field. We give lower bounds for simultaneous linear forms in logarithms of algebraic numbers, treating both the archimedean and $p$-adic cases. The proof includes Baker's method, Hirata's reduction, Chudnovsky's process of variable change. The novelty is that we integrated into the proof the modern tools of adelic slope theory, using also a new small values Siegel's lemma.
Soit p un nombre premier ou p = ∞ et k un corps de nombres plongé dans Cp. Soit n ∈ N \ {0} et u 1 ,. .. , un ∈ Cp tels que e u j ∈ k pour tout j ∈ {1,. .. , n}. Soit (β i,j), 1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ n, une matrice t × n à coefficients dans k. Soit (β 1,0 ,. .. , β t,0) ∈ k t. Posons Λ i := β i,0 + P n j=1 β i,j u j ∈ Cp pour tout i ∈ {1,. .. , t}. Nous obtenons des minorations de max {|Λ i |p ; 1 ≤ i ≤ t} explicites en tous les paramètres, lorsque ce maximum n'est pas nul. Ces minorations englobent de nombreux résultats antérieurs. La démonstration repose sur la méthode de Baker-Philippon-Waldschmidt, la réduction d'Hirata-Kohno, le procédé de changement de variables de Chudnovsky, repensés avec les outils modernes de la théorie des pentes adéliques (méthode de la section auxiliaire). Au passage, nous montrons comment étendre le lemme de Siegel absolu de Zhang au cadre des fibrés adéliques hermitiens et nous établissons un nouveau lemme de Siegel approché.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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