Distribution des solutions du problème d'affectation multi-objectif et relation avec l'efficacité des algorithmes de résolution
Résumé
1 Résultats expérimentaux sur le problème d'affectation multi-objectif Dans un précédent travail, nous nous sommes intéressés à la résolution exacte du problème d'affectation multi-objectif. Pour tester notre méthode, nous avons utilisé des instances dont les coefficients sont générés aléatoirement suivant une loi uniforme, indépendemment les uns des autres. Cela implique que les fonctions objectifs sont générées indépendemment. Nous avons développé une méthode en deux phases utilisant un algorithme de ranking comme principale routine dans la phase 2 ([1,2]), qui s'est montrée particulièrement efficace sur ces instances, aussi bien dans le cas bi- objectif que tri-objectif. Nous avons pu justifier les performances de notre méthode à l'aide de la distribution des solu- tions du problème d'affectation mono-objectif sur les instances utilisées. Effectivement, en énumé- rant toutes les solutions d'un problème d'affectation de taille 10 × 10, et en comptant le nombre de solutions pour chaque valeur de la fonction objectif, nous avons observé le résultat de la figure 1. La courbe obtenue se superpose de manière quasi-parfaite avec la fonction de densité d'une loi nor- male multipliée par le nombre de solutions du problème. Nous avons donc posé la conjecture que la distribution des solutions du problème d'affectation, mesurée par leur valeur, suit une loi normale sur les instances utilisées. Sous cette hypothèse, du fait de l'indépendance des fonctions objectifs, la distribution des solutions du problème d'affectation multi-objectif, mesurée dans l'espace des objectifs, suit donc une loi normale multi-dimensionnelle. Cela nous a permis d'expliquer le faible nombre de solutions énumérées par notre méthode et donc ses temps d'exécution très rapides, mais aussi la variation des proportions de solutions et points supportés et non-supportés suivant la largeur de l'intervalle dans lequel les coefficients sont générés. # solutions comptées 2 Prolongement de l'étude sur la distribution des solutions En général, les instances utilisées pour évaluer une méthode de résolution pour un problème d'optimisation multi-objectif sont construites à partir d'instances mono-objectifs. En particulier, pour un problème dont la version mono-objectif appartient à la classe NP-difficile, des caractéris- tiques rendant les instances difficiles ont souvent été mises en évidence, et donc été intégrées dans les instances multi-objectifs. Dans le cas du problème d'affectation, le problème mono-objectif appartient à la classe P, au- cune classification n'est donc nécessaire, ceci explique sans doute pourquoi la plupart des auteurs se sont limités aux instances générées purement aléatoirement, à l'exception de Degoutin et Gan- dibleux [3]. Ces derniers ont en effet généré des instances de problème d'affectation multi-objectif particulièrement difficiles à résoudre avec la méthode en deux phases. Ce qui n'est pas vraiment surprenant car ce problème (comme bien d'autres) est NP-complet, #P-complet et intractable dans le contexte multi-objectif [4]. Comment reconnaître une instance difficile pour une méthode de résolution? Pour quel type de méthode cette même instance est-elle difficile? Afin de répondre à ces questions, nous nous intéressons à la distribution des valeurs de l'ensemble des solutions du problème d'affectation sur plusieurs classes d'instances. L'utilisation de cette connaissance dans un contexte multi-objectif, permet d'évaluer l'ordre de grandeur du nombre de solutions qu'une méthode purement énuméra- tive doit énumérer, et également l'ordre de grandeur du nombre de solutions efficaces et de points non-dominés (supportés et non-supportés). Avoir une indication sur la distribution de ces solutions, mesurée dans l'espace des objectifs, pour un type d'instance donné est donc très utile pour adapter la stratégie d'exploration, ou pour conclure qu'une méthode purement énumérative ne peut pas être efficace sur ce type d'instances. 3 Classes d'instances Nous considérerons quatre classes d'instances pour le problème d'affectation : A :Lescoefficientsdesmatricesdecoûtssontgénérésindépendemmentdansl'ensemble{0,...,r− 1} suivant une loi uniforme, où r est un paramètre fixé. B : Deux nombres rep et v sont générés respectivement dans les ensembles {1,...,k} et {0, . . . , r − 1} suivant des lois uniformes. Le nombre v est répété rep fois de suite dans la génération des coefficients de la matrices de coûts. Le processus est répété jusqu'à remplir la matrice complète. Les matrices de coûts sont générées indépendemment. k et r sont des paramètres fixés. C : (bi-objectif seulement) La matrice de coûts correspondant au premier objectif est générée comme dans la classe A. Les coefficients de la matrice de coûts correspondant au deuxième objectif sont générés en fonction de ceux de la première, de manière à obtenir une corrélation ρ entre les coefficients des deux matrices. ρ est un paramètre fixé. D : (bi-objectif seulement) Instances situées dans l'intersection des classes B et C. Nous fermerons la conjecture ouverte dans [1] en ce qui concerne les instances de la catégorie A, et nous étudierons les autres types d'instances à l'aide de méthodes probabilistes permettant de mettre en évidence des propriétés expliquant les difficultés propres à chacune de ces catégories d'instances.