, Cela n'empêche d'ailleurs pas Nicomaque de reconnaître la primauté de la médiété arithmétique sur les deux autres, au nom de la supériorité de la science homonyme, l'Arithmétique sur la Géométrie et l'Harmonique
, La constitution du type mathématique de l'idéalité? , II; chapitre IV section 3, et Caveing M. Catégories, vol.10, pp.427-474, 0197.
, il y a désaccord avec les Platoniciens pour qui le plus et le moins sont certainement les deux espèces de l'inégalité, pp.20-25
, cit, commentaire à la définition VIII
, chapitres" ont comme point commun d'introduire les définitions de base et les premiers résultats dans les principaux domaines dont traitent les Éléments . Que constate-t-on ?
, de la théorie des nombres, plutôt qu'à la théorie des nombres ellemême Mais si deux collections de nombres sont aussi nombreuses, on peut tout aussi bien dire "i[ son" 242 que "o{ soi ...tosoùtosoù`tosoù`toi" (tant est? autant que cela est?) 243 . c) dans le même ordre d'idée on utilise l'adverbe "ij sav ki?" pour dire qu'un nombre est pris "le même nombre de fois" qu'un autre Par exemple : Prop. VII. 15 : Si une unité mesure un certain nombre autant de fois qu'un autre nombre mesure un certain autre nombre, de manière alternée, l'unité mesurera aussi le troisième nombre autant de fois que le deuxième [mesure] le quatrième 244 Bien sûr on trouve "i[ son" et "oJ moiv on" dans les définitions qui se réfèrent aux propriétés "géométriques" des nombres : nombres carrés (Df. VII. 17), cubes (Df. VII. 20), semblables 239 « ?Ea; n duv o aj riqmoi; pollaplasiav sante" aj llhv lou" poiw' siv tina", oiJ genov menoi ej x auj tw' n i[ soi aj llhv loi" e[ sontai ». Dans sa réénonciation Euclide précise : si, d'une part A multiplié par B produit C (i.e C = A.B), d'autre part B multiplié par A), alors C est égal à D. La définition de la multiplication (Df.16) étant non symétrique, la proposition vérifie donc la "commutativité" de cette opération : il revient au même d'ajouter B fois des nombres égaux à A que d'ajouter A fois des nombres égaux à B. On peut noter que pour désigner le résultat de la multiplication Euclide utilise la terminologie de la tradition logistique ("produit") ; mais peut-être le résultat est-il "pensé" géométriquement « ?Ea; n tev ssare" aj riqmoi; aj nav logon w\ sin, oJ ej k prwv tou kai; tetav rtou genov meno" aj riqmo; " i[ so" e[ stai tw' / ej k deutev rou kai; triv tou genomev nw/ aj riqmw' / : ». 241 Voir par exemple VII. 4. Là aussi la "composition" est certainement "pensée" géométriquement : au livre I on ne retranche pas une droite donnée à une autre, donnée, plus grande ; on retranche une droite égale à la droite donnée à l'autre, plus grande. Et ce parce qu'une droite est donnée non seulement de grandeur mais aussi de position. De même, VII. 4 fixe en quelque sorte le sens de l'expression "être des parties d'un nombre"; la proposition procède à partir de la distinction : premiers entre eux / composés entre eux, Les opérations de "composition" et de "soustraction" ne sont donc traitées tout à fait de la même manière. 242 Par exemple VII. 5. 243 Par exemple VII, pp.10-10
, aj riqmov n tina metrh' / , ij sav ki" de; e{ tero" aj riqmo; " a[ llon tina; aj riqmo; n metrh' / , kai; ej nalla; x ij sav ki" hJ mona; " to; n triv ton aj riqmo; n metrhv sei kai
, eJ autou' mev resin i[ so" w[ n. Voir Nicomaque de Gérase, op. cit., I, chapitre XIV. Nicomaque associe les nombres abondants, parfaits, déficients, respectivement avec le plus/ l'égal et le moins, auxquels il associe respectivement: excès, ambitions? manque, défauts, pauvreté et, pour l'égalité : vertu, santé, modération et beauté? Ces associations arithmologiques qui peuvent paraître étranges ont leur logique : le nombre abondant a plus de parts que "ce qui lui revient, le nombre déficient en a moins (1+3+5<15)
, 10 et Demande 4 Euclide n'utilise pas la notion d'égalité pour définir le parallélisme de deux droites (Df. 23) comme le feront certains géomètres grecs; ainsi Proclus rapporte que Posidonius définissait les parallèles comme « les droites, qui ne convergent, ni ne divergent, dans un même plan, mais telles que toutes les perpendiculaires menées sur l'une d'entre elles à partir des points de l'autre, sont égales, Eucl. I, pp.6-10
, 47 : Dans les triangles rectangles, le carré sur le côté sous-tendant l'angle droit est égal aux carrés sur les côtés délimitant l'angle droit (th
, Construire un carré égal à une figure rectiligne donnée 255 Dans les livres XI et XII elle s'applique aux volumes (parallélépipèdes, pyramides, prisme, cylindre, cône?) 256 . Pour exprimer la congruence dans l'espace les choses sont évidemment plus compliquées ; par exemple en XII.3 pour dire que deux pyramides sont congruentes, Euclide utilise l'expression "i[ sa? te kai; oJ moiv a?
, ont rien à voir avec aucune de ces trois possibilités. Précisons que le plan du livre XI est le suivant : ? relations élémentaires entre droites et plans (n° 1 à 19) 265 . ? propriétés des angles solides
, mais il montre bien que le philosophe s'appuie avant tout sur une analyse des usages linguistiques qui, de fait, dépasse largement le domaine des mathématiques. C'est particulièrement évident pour l'"oJ moiothv ?" dont seule une partie du premier sens concerne l'usage des mathématiciens. Mais les mathématiques fournissent de bons exemples d'identité comme égalité (au sens de congruence), de similitude comme identité de forme ; la coïncidence des deux sens de "égal" dans le cas particulier des droites est remarquée; pour les quadrangles, ces deux sens de sont certainement repérés
, Edition et traduction Ch, pp.1970-74
, yamen, to; tauj to; kai; o{ moion kai; i[ son, tou' de; plhv qou" to; e{ teron kai; aj nov moion kai; a[ nison. legomev nou de; tou' tauj tou' pollacw' ", e{ na me; n trov pon kat? aj riqmo; n lev gomen ej niv ote auj tov , to; d? ej a; n kai; lov gw/ kai; aj riqmw' / e} n h\ / , oi| on su; sautw' / kai; tw' / ei[ dei kai; th' / u{ lh/ e{ n: e[ ti d? ej a; n oJ lov go" oJ th' " prwv th" ouj siv a" ei| " h\ / , oi| on aiJ i[ sai grammai; euj qei' ai aiJ auj taiv , kai; ta; i[ sa kai; ij sogwv nia tetrav gwna, kaiv toi pleiv w: aj ll? ej n touv toi" hJ ij sov th" eJ nov th". o{ moia de; ej a; n mh; tauj ta; aJ plw' " o[ nta, mhde; kata; th; n ouj siv an aj diav fora th; n sugkeimev nhn, kata; to; ei\ do" tauj ta; h\ / , w{ sper to; mei' zon tetrav gwnon tw' / mikrw' / o{ moion, kai; aiJ a[ nisoi euj qei' ai: au| tai ga; r o{ moiai mev n, aiJ auj tai; de; aJ plw' " ou[ . ta; de; ej a; n to; auj to; ei\ do" e[ conta, ej n oi| " to; ma' llon kai; h| tton ej ggiv gnetai, mhv te ma' llon h\ / mhv te h| tton. ta; de; ej a, pp.30-1054, 1054.
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