Généralisation de l'estimateur de Kaplan-Meier d'une loi de durée de maintien en présence d'observations tronquées à gauche. Extension à l'étude conjointe de deux durées de maintien.
Résumé
: The Kaplan-Meier estimation of a positive random variable distribution is particularly well known for right censored data. This estimation has been extended to truncated data and to discrete random variable by Turnbull [13]. For the univariate case, this generalization has been extended to any random variables. The estimation's consistency notion is considered with a larger definition than the classic one. It provides uniqueness and, under certain conditions, the existence of a maximum likehood estimation generalizing the Kaplan-Meier one. The redistributive algorithm which was first proposed by Efron [6] is extended.
L'estimation Kaplan-Meier de la loi d'une variable aléatoire positive est bien connue dans le cas de données pouvant être censurées à droite. Cette estimation a été prolongée aux cas de données pouvant être tronquées à gauche pour des variables discrètes. Turnbull [13]. Dans le cas univarié, cette généralisation est étendue au cas de variables aléatoires dont la loi peut avoir pour support tout sous-ensemble de R+. La notion d'estimateur cohérent est reprise avec une définition plus large que la définition classique permettant d'établir l'unicité et, sous certaines conditions, l'existence d'un estimateur maximum de vraisemblance généralisant l'estimateur Kaplan-Meier. Cet estimateur est obtenu explicitement sous une forme permettant de comparer les influences respectives des données censurées et tronquées sur l'estimation. L'algorithme de redistribution proposé par Efron [6] est généralisé. Dans le cas bivarié on démontre, dans le cas particulier de censure univariée, et sous certaines conditions, l'existence (et l'unicité en absence de troncatures) de l'estimateur maximum de vraisemblance de la loi conjointe des deux durées de survie. Un exemple montre qu'il est possible que cette estimation affecte des probabilités irrationnelles à certains points montrant ainsi que toute estimation déduite de l'algorithme redistributif étendu au cas multivarié ne saurait être toujours l'estimation du maximum de vraisemblance. Des conditions de convergence d'algorithmes itératifs sont données en particulier dans le cas où il n'y a pas de données tronquées. Un algorithme itératif est proposé. L'estimation déduite de la généralisation de l'algorithme redistributif peut servir de point initial à l'algorithme itératif proposé.