Geométries finies et information quantique
Résumé
Une géométrie G est un ensemble de points et de lignes ainsi que des axiomes indiquant leur incidence. On définit une géométrie quantique GQ pas des observables/points et des ensembles maximalement commutants/lignes. Cette définition découle de l'existence, en dimension d=pN, p premier, d'ensembles complets de bases mutuellement décorrélées (les opérateurs d'une base partagent les vecteurs propres des observables d'une ligne) [1]. Pour unifier groupes et géométrie, Jacques Tits a introduit dans les années 50 les concepts, de quadrangle généralisé GQ, d'espace polaire et de building. Un quadrangle généralisé est un espace presque linéaire (au moins 2 points sur une ligne et au plus une ligne entre 2 points) tel que tout antidrapeau (une ligne l et un point p hors de la ligne) il y ait exactement une ligne issue de p coupant l). Les 15 observables des 2-qubits vérifient les axiomes d'un GQ d'ordre (2,2) (3 points par ligne, 3 lignes par point). A cause de la dualité points/lignes de GQ(2,2), un nombre considérable de sous structures intéressantes peuvent êtres dévoilées, liées à la géométrie projective [2–4]. Plus généralement les 4N-1 observables des N-qubits (N>1) vérifient les axiomes d'un espace polaire (pour un antidrapeau (l,p) le nombre de lignes issue de p coupant l un vaut, soit un, soit le nombre de points de la ligne). Les espaces polaires qui nous intéressent sont symplectiques et leur graphe d'incidence fortement régulier [3]. Pour le cas de la dimension impaire (par exemple les 2-qutrits, d=9), ou la dimension composite (par exemple le système qubit/qutrit, d=6) l'espace des points n'est plus presque linéaire, mais multiple (plusieurs lignes pouvant passer par deux points). Pour ces deux cas, remarquablement, les autres axiomes du quadrangle généralisé subsistent [5]. De plus, les N-qudits relèvent aussi des espaces multiples mais polaires. Les observables intriquées sont sélectionnées par une classe particulière d'hyperplans de ces géométries finies, ainsi que par les droites projectives d'anneaux appropriées. [1] A survey of finite algebraic geometrical structures underlying mutually unbiased measurements. M Planat, H C Rosu and S Perrine. Found of Phys 2006; 36: 1662–1680. [2] Projective ring line encompassing two-qubits M Saniga, M Planat and P Pracna. Preprint quant-ph/0611063 [3] On the Pauli graphs of N-qudits. M Planat and M Saniga. Preprint quant-ph/0701211 [4] Quantum entanglement and projective ring geometry. M Planat, M Saniga and M Kibler. SIGMA 2006; 2: paper 66. [5] Multispace geometry of Pauli operators. M Planat, A-C Baboin and M Saniga, à paraître.