Inhomogeneous and Euclidean spectra of number fields with unit rank strictly greater than 1

Jean-Paul Cerri (1, 2)

1 IECN - Institut Élie Cartan de Nancy
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Let K be a number field with unit rank r > 1. In this article we show that the inhomogeneous minimum of K is attained by at least one rational point. In particular, if M(K) is the Euclidean minimum of K, we have . This phenomenon has consequences on the decidability of the Euclidean nature of such a field. Moreover, in case K is not a CM-field, we prove that is attained, isolated, and that the inhomogeneous minimum function takes discrete rational values. Soit K un corps de nombres dont le rang du groupe des unités est strictement supérieur à 1. Nous prouvons que les minima euclidien et inhomogène de K sont égaux et rationnels, atteints en particulier par des points rationnels. Ce résultat a une incidence directe sur la décidabilité de l'euclidianité de K. Par ailleurs nous établissons que, sous la même hypothèse sur le rang du groupe des unités, si K n'est pas CM, les spectres euclidien et inhomogène sont confondus, discrets et rationnels. Dans ce cas précis, le minimum inhomogène de K est atteint et isolé.

Mots clés: euclidean spectrum; inhomogeneous spectrum; number fields

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Jean-Paul Cerri. Inhomogeneous and Euclidean spectra of number fields with unit rank strictly greater than 1. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2006, 592, pp.49-62. ⟨10.1515/CRELLE.2006.022⟩. ⟨hal-00136940⟩